Задача 62. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только: а) от $r$; б) от $\alpha$; в) от $z$ (цилиндрические координаты).

Решение.

\[\Delta u(r) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial u}{\partial r}\right) = \frac{1}{r} \frac{d}{d r} \left(r \frac{d u}{d r}\right) = 0, \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{dr} = \frac{A}{r}, \quad u = B + A \ln r\] \[\Delta u (\alpha) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \alpha^2} = 0, \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{d\alpha} = A, \quad u = A\alpha + B\] \[\Delta u (z) = \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0, \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{dz} = A, \quad u = A z + B\]