Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, 1970

Задача 63. Показать, что если скалярная функция $\psi$ является решением уравнения $\Delta \psi + k^2 \psi = 0$ и $\vec{a}$ - некоторый постоянный вектор, то векторные функции $\vec{L} = \nabla \psi, \quad \vec{M} = \mathrm{\,rot\,} (\vec{a}\psi), \quad \vec{N} = \mathrm{\,rot\,} \vec{M}$ удовлетворяют уравнению $\Delta \vec{A} + k^2 \vec{A} = 0$

Решение.

$$\nabla (\Delta \psi + k^2 \psi) = \Delta (\nabla \psi) + k^2 \nabla \psi = 0, \quad \Delta \vec{L} + k^2 \vec{L} = 0$$

Если $\vec{a}$ - постоянный вектор:

$$\Delta (\vec{a} \psi) = \vec{a} \Delta \psi = -k^2 \vec{a} \psi$$ $$\mathrm{rot\,} [\Delta (\vec{a} \psi) + k^2 \vec{a} \psi] = \Delta \mathrm{\,rot\,(\vec{a}\psi)} + k^2 \mathrm{\,rot\,} (\vec{a}\psi) = 0, \quad \Delta \vec{M} + k^2 \vec{M} = 0$$

Аналогично последнее:

$$\Delta \vec{N} + k^2 \vec{N} = 0$$