Задача 64. Уравнение $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1,\quad (a>b>c)$ изображает эллипсоид с полуосями $a, b, c$.

Уравнения

\[\begin{alignedat}{} & \dfrac{x^2}{a^2 + \xi} + \dfrac{y^2}{b^2 + \xi}+\dfrac{z^2}{c^2 + \xi} = 1, & \xi \geqslant - c^2, \\ & \dfrac{x^2}{a^2 + \eta} + \dfrac{y^2}{b^2 + \eta}+\dfrac{z^2}{c^2 + \eta} = 1, & - c^2 \geqslant \eta \geqslant -b^2, \\ & \dfrac{x^2}{a^2 + \zeta} + \dfrac{y^2}{b^2 + \zeta}+\dfrac{z^2}{c^2 + \zeta} = 1, & - b^2 \geqslant \zeta \geqslant -a^2, \end{alignedat}\]

изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двуполостной гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности, характеризуемой значениями $\xi, \eta, \zeta$. Числа $\xi, \eta, \zeta$ называются эллипсоидальными координатами точки $x, y, z$. Найти формулы преобразования от $\xi, \eta, \zeta$ к $x, y, z$. Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных координатах.

Решение.

Очевидно, что перед нами линейная система уравнений относительно $x^2, y^2, z^2.$ Её можно решать методом Крамера:

\[\begin{vmatrix} \dfrac{1}{a^2+\xi} & \dfrac{1}{b^2+\xi} & \dfrac{1}{c^2+\xi} \\ \dfrac{1}{a^2+\eta} & \dfrac{1}{b^2+\eta} & \dfrac{1}{c^2+\eta} \\ \dfrac{1}{a^2+\zeta} & \dfrac{1}{b^2+\zeta} & \dfrac{1}{c^2+\zeta} \end{vmatrix} = \dfrac{1}{(a^2+\xi)(a^2+\eta)(a^2+\zeta)} \begin{vmatrix} 1 & \dfrac{a^2+\xi}{b^2+\xi} & \dfrac{a^2+\xi}{c^2+\xi} \\ 1 & \dfrac{a^2+\eta}{b^2+\eta} & \dfrac{a^2+\eta}{c^2+\eta} \\ 1 & \dfrac{a^2+\zeta}{b^2+\zeta} & \dfrac{a^2+\zeta}{c^2+\zeta} \end{vmatrix} =\] \[= \dfrac{1}{(a^2+\xi)(a^2+\eta)(a^2+\zeta)} \begin{vmatrix} 1 & \dfrac{a^2+\xi}{b^2+\xi} & \dfrac{a^2+\xi}{c^2+\xi} \\ 0 & \dfrac{(a^2 - b^2)(\xi - \eta)}{(b^2+\eta)(b^2+\xi)} & \dfrac{(a^2 - c^2)(\xi - \eta)}{(c^2+\eta)(c^2+\xi)} \\ 0 & \dfrac{(a^2 - b^2)(\xi - \zeta)}{(b^2+\zeta)(b^2+\xi)} & \dfrac{(a^2 - c^2)(\xi - \zeta)}{(c^2+\zeta)(c^2+\xi)} \end{vmatrix} =\] \[= \dfrac{(a^2 - b^2)(a^2 - c^2)(\xi - \eta)(\xi - \zeta)}{(a^2+\xi)(a^2+\eta)(a^2+\zeta)(c^2+\xi)(b^2+\xi)} \begin{vmatrix} \dfrac{1}{b^2+\eta} & \dfrac{1}{c^2+\eta} \\ \dfrac{1}{b^2+\zeta} & \dfrac{1}{c^2+\zeta} \end{vmatrix} =\] \[= \dfrac{(a^2 - b^2)(a^2 - c^2)(\xi - \eta)(\xi - \zeta)}{(a^2+\xi)(a^2+\eta)(a^2+\zeta)(c^2+\xi)(b^2+\xi)(b^2+\eta)(b^2+\zeta)} \begin{vmatrix} 1 & \dfrac{b^2+\eta}{c^2+\eta} \\ 1 & \dfrac{b^2+\zeta}{c^2+\zeta} \end{vmatrix} =\] \[= \dfrac{(a^2 - b^2)(a^2 - c^2)(\xi - \eta)(\xi - \zeta)}{(a^2+\xi)(a^2+\eta)(a^2+\zeta)(c^2+\xi)(b^2+\xi)(b^2+\eta)(b^2+\zeta)} \begin{vmatrix} 1 & \dfrac{b^2+\eta}{c^2+\eta} \\ 0 & \dfrac{(b^2 - c^2)(\eta - \zeta)}{(c^2+\zeta)(c^2 + \eta)} \end{vmatrix} =\] \[= \dfrac{(a^2 - b^2)(a^2 - c^2)(b^2 - c^2)(\xi - \eta)(\xi - \zeta)(\eta - \zeta)}{(a^2+\xi)(a^2+\eta)(a^2+\zeta)(b^2+\xi)(b^2+\eta)(b^2+\zeta)(c^2+\xi)(c^2 + \eta)(c^2+\zeta)}\] \[\begin{vmatrix} 1 & \dfrac{1}{b^2+\xi} & \dfrac{1}{c^2+\xi} \\ 1 & \dfrac{1}{b^2+\eta} & \dfrac{1}{c^2+\eta} \\ 1 & \dfrac{1}{b^2+\zeta} & \dfrac{1}{c^2+\zeta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \dfrac{1}{b^2+\xi} & \dfrac{1}{c^2+\xi} \\ 0 & \dfrac{(\xi - \eta)}{(b^2+\eta)(b^2+\xi)} & \dfrac{(\xi - \eta)}{(c^2+\eta)(c^2 + \xi)} \\ 0 & \dfrac{(\xi - \zeta)}{(b^2+\zeta)(b^2 + \xi)} & \dfrac{(\xi - \zeta)}{(c^2+\zeta)(c^2 + \xi)} \end{vmatrix} =\] \[= \dfrac{(\xi - \eta)(\xi - \zeta)}{(b^2+\xi)(c^2 + \xi)} \begin{vmatrix} \dfrac{1}{b^2+\eta} & \dfrac{1}{c^2+\eta} \\ \dfrac{1}{b^2+\zeta} & \dfrac{1}{c^2+\zeta} \end{vmatrix} = \dfrac{(\xi - \eta)(\xi - \zeta)(\eta - \zeta)(b^2 - c^2)}{(b^2+\xi)(b^2+\eta)(b^2+\zeta)(c^2 + \xi)(c^2+\eta)(c^2+\zeta)}\] \[x^2 = \dfrac{(a^2+\xi)(a^2+\eta)(a^2+\zeta)}{(a^2 - b^2)(a^2 - c^2)}\]

Остальное можно получить циклическими перестановками $x\to y\to z, a\to b \to c$:

\[\begin{aligned} & x = \pm \sqrt{\dfrac{(a^2+\xi)(a^2+\eta)(a^2+\zeta)}{(a^2 - b^2)(a^2 - c^2)}}, \\ & y = \pm \sqrt{\dfrac{(b^2+\xi)(b^2+\eta)(b^2+\zeta)}{(b^2 - c^2)(b^2 - a^2)}}, \\ & z = \pm \sqrt{\dfrac{(c^2+\xi)(c^2+\eta)(c^2+\zeta)}{(c^2 - a^2)(c^2 - b^2)}}. \end{aligned}\]

Обратим внимание - подкоренное выражение всегда положительно - в первом случае числитель и знаменатель положительны, во втором случае - одна из скобок числителя отрицательна, и одна из скобок знаменателя отрицательна, в третьем случае - две скобки числителя отрицательны, как и обе скобки знаменателя. Два знака определяют октанты системы. Найдём ненормированные базисные орты:

\[\begin{aligned} & H_\xi \vec{e}_\xi = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \xi} = \frac{x}{2(a^2 + \xi)} \vec{e}_x + \frac{y}{2(b^2 + \xi)} \vec{e}_y + \frac{z}{2(c^2 + \xi)} \vec{e}_z, \\ & H_\eta \vec{e}_\eta = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \eta} = \frac{x}{2(a^2 + \eta)} \vec{e}_x + \frac{y}{2(b^2 + \eta)} \vec{e}_y + \frac{z}{2(c^2 + \eta)} \vec{e}_z, \\ & H_\zeta \vec{e}_\zeta = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \zeta} = \frac{x}{2(a^2 + \zeta)} \vec{e}_x + \frac{y}{2(b^2 + \zeta)} \vec{e}_y + \frac{z}{2(c^2 + \zeta)} \vec{e}_z, \end{aligned}\]

Ортогональность можно получить попарным вычитанием исходных уравнений:

\[\begin{aligned} & (\eta - \xi) \left[\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \xi)(b^2 + \eta)} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)}\right] = 0, \\ & (\zeta - \xi) \left[\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)(a^2 + \zeta)} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \xi)(b^2 + \zeta)} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)(c^2 + \zeta)}\right] = 0, \\ & (\eta - \zeta) \left[\dfrac{x^2}{(a^2 + \zeta)(a^2 + \eta)} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \zeta)(b^2 + \eta)} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \zeta)(c^2 + \eta)}\right] = 0, \\ \end{aligned}\]

Отметим, что:

\[\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)(a^2 + \zeta)} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \xi)(b^2 + \eta)(b^2 + \zeta)} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)(c^2 + \zeta)} = 0\]

Коэффициент Ламэ:

\[H_\xi^2 = \frac{1}{4} \left(\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)^2} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \xi)^2} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)^2}\right) =\] \[= \frac{1}{4} \left[\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)^2} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \xi)^2} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)^2} - \left(\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \xi)(b^2 + \eta)} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)}\right) \right] =\] \[= \frac{(\eta - \xi)}{4} \left[\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)^2 (a^2 + \eta)} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \xi)^2(b^2 + \eta)} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)^2(c^2 + \eta)} - \right.\] \[\left. - \left( \dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)(a^2 + \zeta)} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \xi)(b^2 + \eta)(b^2 + \zeta)} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)(c^2 + \zeta)} \right) \right] =\] \[= \frac{(\eta - \xi)(\zeta - \xi)}{4} \left[\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)^2 (a^2 + \eta)(a^2 + \zeta)} + \dfrac{y^2}{(b^2 + \xi)^2(b^2 + \eta)(b^2 + \zeta)} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)^2(c^2 + \eta)(c^2 + \zeta)} \right] =\] \[= \frac{(\eta - \xi)(\zeta - \xi)}{4} \left[\dfrac{1}{(a^2 + \xi)(a^2 - b^2)(a^2 - c^2)} + \dfrac{1}{(b^2 + \xi)(b^2 - c^2)(b^2 - a^2)} + \dfrac{1}{(c^2 + \xi)(c^2 - a^2)(c^2 - b^2)} \right] = (*)\]

Далее учтём, что:

\[\dfrac{1}{(a^2 - b^2)(a^2-c^2)} + \dfrac{1}{(b^2 - c^2)(b^2 - a^2)} + \dfrac{1}{(c^2 - a^2)(c^2 - b^2)} = 0\] \[(*) = \frac{(\eta - \xi)(\zeta - \xi)}{4} \left[\dfrac{(a^2 - b^2)}{(a^2 + \xi)(b^2 + \xi)(b^2 - c^2)(b^2 - a^2)} + \dfrac{(a^2 - c^2)}{(a^2 + \xi)(c^2 + \xi)(c^2 - a^2)(c^2 - b^2)} \right] =\] \[= \frac{(\eta - \xi)(\zeta - \xi)}{4} \left[- \dfrac{1}{(a^2 + \xi)(b^2 + \xi)(b^2 - c^2)} + \dfrac{1}{(a^2 + \xi)(c^2 + \xi)(b^2 - c^2)} \right] =\] \[= \frac{(\eta - \xi)(\zeta - \xi)}{4 (a^2 + \xi)(b^2 + \xi)(c^2 + \xi)(b^2 - c^2)} \left[b^2 + \xi - c^2 - \xi \right] = \dfrac{(\eta - \xi)(\zeta - \xi)}{4 (a^2 + \xi)(b^2 + \xi)(c^2 + \xi)}\]

Остальные коэффициенты получаем циклическими перестановками, плюс учтём $\xi \geqslant \eta \geqslant \zeta$:

\[\begin{aligned} & H_\xi = \sqrt{\dfrac{(\eta - \xi)(\zeta - \xi)}{4 (a^2 + \xi)(b^2 + \xi)(c^2 + \xi)}} = \sqrt{\dfrac{(\xi - \eta)(\xi - \zeta)}{4 |(a^2 + \xi)(b^2 + \xi)(c^2 + \xi)|}}, \\ & H_\eta = \sqrt{\dfrac{(\zeta - \eta)(\xi- \eta)}{4 (a^2 + \eta)(b^2 + \eta)(c^2 + \eta)}} = \sqrt{\dfrac{(\eta - \zeta)(\xi- \eta)}{4 |(a^2 + \eta)(b^2 + \eta)(c^2 + \eta)|}} , \\ & H_\zeta = \sqrt{\dfrac{(\xi - \zeta)(\eta - \zeta)}{4 (a^2 + \zeta)(b^2 + \zeta)(c^2 + \zeta)}} = \sqrt{\dfrac{(\xi - \zeta)(\eta - \zeta)}{4 |(a^2 + \zeta)(b^2 + \zeta)(c^2 + \zeta)|}}, \\ \end{aligned}\]

Обозначим

\[R_u = \sqrt{|(a^2 + u)(b^2 + u)(c^2 + u)|}\]

Оператор Лапласа:

\[\Delta = \frac{8 R_\xi R_\eta R_\zeta}{(\xi - \eta)(\xi - \zeta)(\eta - \zeta)} \dfrac{\partial}{\partial \xi} \left[\dfrac{(\eta - \zeta) R_\xi}{2R_\eta R_\zeta} \dfrac{\partial}{\partial \xi} \right] + \ldots =\] \[= \frac{4 R_\xi}{(\xi - \eta)(\xi - \zeta)} \dfrac{\partial}{\partial \xi} \left[ R_\xi \dfrac{\partial}{\partial \xi} \right] + \frac{4 R_\eta}{(\eta - \zeta)(\xi - \eta)} \dfrac{\partial}{\partial \eta} \left[ R_\eta \dfrac{\partial}{\partial \eta} \right] + \frac{4 R_\zeta}{(\xi - \zeta)(\eta - \zeta)} \dfrac{\partial}{\partial \zeta} \left[ R_\zeta \dfrac{\partial}{\partial \zeta} \right]\]