Задача 65. При $a = b > c$ эллипсоидальная система координат (см. предыдущую задачу) вырождается в так называемую сплюснутую сфероидальную систему координат. Координата $\zeta$ при этом переходит в постоянную, равную $-a^2$ и должна быть заменена другой координатой. В качестве последней выбирают азимутальный угол $\alpha$ в плоскости $xy$. Координаты $\xi, \eta$ определяются из уравнений:

\[\begin{alignedat}{} & \dfrac{r^2}{a^2 + \xi} + \dfrac{z^2}{c^2 + \xi} = 1, & \xi \geqslant - c^2, \\ & \dfrac{r^2}{a^2 + \eta} + \dfrac{z^2}{c^2 + \eta} = 1, & - c^2 \geqslant \eta \geqslant -a^2, \\ & r^2 = x^2 + y^2. \end{alignedat}\]

Поверхности $\xi = const$ представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения вокруг оси $z$, поверхности $\eta = const$ - софокусные с ними однополостные гиперболоиды вращения.

Найти выражения $r, z$ в сплюснутых сфероидальных координатах, коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в этих координатах.

Решение. Используем метод Крамера:

\[\begin{vmatrix} \dfrac{1}{a^2 + \xi} & \dfrac{1}{c^2 + \xi} \\ \dfrac{1}{a^2 + \eta} & \dfrac{1}{c^2 + \eta} \end{vmatrix} = \dfrac{(c^2 + \xi)(a^2 + \eta) - (a^2 + \xi)(c^2 + \eta)}{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)} =\] \[= \dfrac{(a^2 - c^2)(\xi - \eta)}{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)}\] \[\begin{vmatrix} 1 & \dfrac{1}{c^2 + \xi} \\ 1 & \dfrac{1}{c^2 + \eta} \end{vmatrix} = \dfrac{(\xi - \eta)}{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)}\] \[\begin{vmatrix} \dfrac{1}{a^2 + \xi} & 1 \\ \dfrac{1}{a^2 + \eta} & 1 \end{vmatrix} = - \dfrac{(\xi - \eta)}{(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)}\]

Получаем:

\[\begin{aligned} & r = \sqrt{\dfrac{(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)}{(a^2 - c^2)}}, \\ & z = \pm \sqrt{\dfrac{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)}{(c^2 - a^2)}} \end{aligned}\]

Окончательно для декартовых координат:

\[\begin{aligned} & x = \sqrt{\dfrac{(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)}{(a^2 - c^2)}} \cos \alpha, \\ & y = \sqrt{\dfrac{(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)}{(a^2 - c^2)}} \sin \alpha, \\ & z = \pm \sqrt{\dfrac{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)}{(c^2 - a^2)}} \end{aligned}\]

Ненормированные базисные орты:

\[\begin{aligned} & H_\xi \vec{e}_\xi = \dfrac{\partial \vec{r}}{\partial \xi} = \dfrac{x}{2(a^2 + \xi)} \vec{e}_x + \dfrac{y}{2(a^2 + \xi)} \vec{e}_y + \dfrac{z}{2(c^2 + \xi)} \vec{e}_z = \dfrac{r}{2(a^2 + \xi)} \vec{e}_r + \dfrac{z}{2(c^2 + \xi)} \vec{e}_z \\ & H_\eta \vec{e}_\eta = \dfrac{\partial \vec{r}}{\partial \eta} = \dfrac{x}{2(a^2 + \eta)} \vec{e}_x + \dfrac{y}{2(a^2 + \eta)} \vec{e}_y + \dfrac{z}{2(c^2 + \eta)} \vec{e}_z = \dfrac{r}{2(a^2 + \eta)} \vec{e}_r + \dfrac{z}{2(c^2 + \eta)} \vec{e}_z \\ & H_\alpha \vec{e}_\alpha = \dfrac{\partial \vec{r}}{\partial \alpha} = - y \vec{e}_x + x \vec{e}_y = r \vec{e}_\alpha \end{aligned}\]

Ортогональность первого и второго ортов следует из разности исходных уравнений:

\[(\eta - \xi) \left[\dfrac{r^2}{(a^2 + \xi)(a^2 + \eta)} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)(c^2 + \eta)}\right] = 0\]

Ортогональность с ортом $\vec{e}_\alpha$ очевидна. Найдём коэффициенты Ламэ:

\[H_\xi^2 = \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{r^2}{(a^2 + \xi)^2} + \dfrac{z^2}{(c^2 + \xi)^2} \right] =\] \[= \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{(a^2 + \eta)}{(a^2 + \xi)(a^2 - c^2)} + \dfrac{(c^2 + \eta)}{(c^2 + \xi)(c^2 - a^2)} \right] =\] \[= \dfrac{1}{4} \dfrac{(a^2 + \eta)(c^2 + \xi) - (c^2 + \eta)(a^2 + \xi)}{(a^2 + \xi)(c^2 + \xi)(a^2 - c^2)} =\] \[= \dfrac{1}{4} \dfrac{(a^2 - c^2)(\xi - \eta)}{(a^2 + \xi)(c^2 + \xi)(a^2 - c^2)} = \dfrac{1}{4} \dfrac{(\xi - \eta)}{(a^2 + \xi)(c^2 + \xi)}\]

Перестановкой получаем:

\[H_\eta^2 = \dfrac{1}{4} \dfrac{(\eta - \xi)}{(a^2 + \eta)(c^2 + \eta)}\] \[H_\alpha^2 = r^2\]

Коэффициенты Ламэ:

\[\begin{aligned} & H_\xi = \sqrt{\dfrac{1}{4} \dfrac{(\xi - \eta)}{(a^2 + \xi)(c^2 + \xi)}} = \dfrac{\sqrt{\xi - \eta}}{2 R_\xi}, \\ & H_\eta = \sqrt{\dfrac{1}{4} \dfrac{(\xi - \eta)}{(a^2 + \eta)(- c^2 - \eta)}} = \dfrac{\sqrt{\xi - \eta}}{2 R_\eta}, \\ & H_\alpha = r \end{aligned}\]

Оператор Лапласа:

\[\Delta = \dfrac{4 R_\xi R_\eta}{(\xi - \eta) r} \dfrac{\partial}{\partial \xi} \left[\dfrac{R_\xi r}{R_\eta} \dfrac{\partial}{\partial \xi}\right] + \dfrac{4 R_\xi R_\eta}{(\xi - \eta) r} \dfrac{\partial}{\partial \eta} \left[\dfrac{R_\eta r}{R_\xi} \dfrac{\partial}{\partial \eta}\right] + \dfrac{4 R_\xi R_\eta}{(\xi - \eta) r} \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left[\dfrac{(\xi - \eta)}{4 R_\xi R_\eta r} \dfrac{\partial}{\partial \alpha}\right]\] \[= \dfrac{4 R_\xi}{(\xi - \eta) r} \dfrac{\partial}{\partial \xi} \left[R_\xi r \dfrac{\partial}{\partial \xi}\right] + \dfrac{4 R_\eta}{(\xi - \eta) r} \dfrac{\partial}{\partial \eta} \left[R_\eta r \dfrac{\partial}{\partial \eta}\right] + \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial^2}{\partial \alpha^2}\]