Задача 66. Вытянутая сфероидальная система координат получается из эллипсоидальной (см. задачу 64) при $a > b = c$. Координата $\eta$ при этом вырождается в постоянную и должна быть заменена азимутальным углом $\alpha$, отсчитываемым в плоскости $yz$ от оси $y$.

Координаты $\xi, \zeta$ определяются из уравнений

\[\begin{alignedat}{} & \dfrac{x^2}{a^2 + \xi} + \dfrac{r^2}{b^2 + \xi} = 1, & \xi \geqslant - b^2,\\ & \dfrac{x^2}{a^2 + \zeta} + \dfrac{r^2}{b^2 + \zeta} = 1, & -b^2 \geqslant \zeta \geqslant -a^2,\\ & r^2 = y^2 + z^2 \end{alignedat}\]

Поверхности постоянных $\xi$ и $\zeta$ представляют собой вытянутые эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды вращения. Выразить величины $x, r$ через $\xi, \zeta$; найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в переменных $\xi, \zeta, \alpha$.

Решение. Как и в предыдущей задаче решаем систему:

\[\begin{aligned} & x^2 = \dfrac{\frac{(\xi - \zeta)}{(b^2 + \xi)(b^2 + \zeta)}}{\frac{(a^2 - b^2)(\xi - \zeta)}{(a^2 + \xi)(a^2 + \zeta)(b^2 + \xi)(b^2 + \zeta)}} = \dfrac{(a^2 + \xi)(a^2 + \zeta)}{(a^2 - b^2)}, \\ & r^2 = \dfrac{\frac{(\zeta - \xi)}{(a^2 + \xi)(a^2 + \zeta)}}{\frac{(a^2 - b^2)(\xi - \zeta)}{(a^2 + \xi)(a^2 + \zeta)(b^2 + \xi)(b^2 + \zeta)}} = - \dfrac{(b^2 + \xi)(b^2 + \zeta)}{(a^2 - b^2)} \end{aligned}\]

В результате:

\[\begin{aligned} & x = \pm \sqrt{\dfrac{(a^2 + \xi)(a^2 + \zeta)}{(a^2 - b^2)}}, \\ & r = \sqrt{- \dfrac{(b^2 + \xi)(b^2 + \zeta)}{(a^2 - b^2)}}. \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & x = \pm \sqrt{\dfrac{(a^2 + \xi)(a^2 + \zeta)}{(a^2 - b^2)}}, \\ & y = \sqrt{- \dfrac{(b^2 + \xi)(b^2 + \zeta)}{(a^2 - b^2)}} \cos \alpha, \\ & z = \sqrt{- \dfrac{(b^2 + \xi)(b^2 + \zeta)}{(a^2 - b^2)}} \sin \alpha. \end{aligned}\]

Ненормированные базисные орты:

\[\begin{aligned} & H_\xi \vec{e}_\xi = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \xi} = \dfrac{x}{2(a^2 + \xi)} \vec{e}_x + \dfrac{r \cos \alpha}{2(b^2 + \xi)} \vec{e}_y + \dfrac{r \sin \alpha}{2(b^2 + \xi)} \vec{e}_z, \\ & H_\zeta \vec{e}_\zeta = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \zeta} = \dfrac{x}{2(a^2 + \zeta)} \vec{e}_x + \dfrac{r \cos \alpha}{2(b^2 + \zeta)} \vec{e}_y + \dfrac{r \sin \alpha}{2(b^2 + \zeta)} \vec{e}_z, \\ & H_\alpha \vec{e}_\alpha = - r \sin \alpha \vec{e}_y + r \cos \alpha \vec{e}_z. \end{aligned}\]

Ортогональность первого и второго векторов с третьим вектором очевидна. Ортогональность первого и второго векторов следует из разности исходных уравнений поверхностей:

\[(\xi - \zeta) \left[\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)(a^2 + \zeta)} + \dfrac{r^2}{(a^2 + \xi)(a^2 + \zeta)}\right] = 0.\]

Коэффициенты Ламэ:

\[\begin{aligned} & H_\xi^2 = \frac{1}{4} \left[\dfrac{x^2}{(a^2 + \xi)^2} + \dfrac{r^2}{(b^2 + \xi)^2}\right] = \frac{1}{4} \left[\dfrac{(a^2 + \zeta)}{(a^2 - b^2)(a^2 + \xi)} - \dfrac{(b^2 + \zeta)}{(a^2 - b^2)(b^2 + \xi)}\right] = \end{aligned}\] \[= \frac{1}{4(a^2 - b^2)} \left[\dfrac{(a^2 + \zeta)}{(a^2 + \xi)} - \dfrac{(b^2 + \zeta)}{(b^2 + \xi)}\right] = \frac{(a^2 - b^2)(\xi - \zeta)}{4(a^2 - b^2)(a^2 + \xi)(b^2 + \xi)} =\] \[= \dfrac{(\xi - \zeta)}{4(a^2 + \xi)(b^2 + \xi)}\]

Меняем местами $\zeta \leftrightarrow \xi$:

\[H_\zeta^2 = \dfrac{(\zeta - \xi)}{4(a^2 + \zeta)(b^2 + \zeta)}\]

Окончательно получаем:

\[\begin{aligned} & H_\xi = \sqrt{\dfrac{(\xi - \zeta)}{4(a^2 + \xi)(b^2 + \xi)}} = \dfrac{\sqrt{\xi - \zeta}}{2 R_\xi}, \\ & H_\zeta = \sqrt{\dfrac{(\xi - \zeta)}{4(a^2 + \zeta)(- b^2 - \zeta)}} = \dfrac{\sqrt{\xi - \zeta}}{2 R_\zeta}, \\ & H_\alpha = r. \end{aligned}\]

Оператор Лапласа:

\[\Delta = \frac{4 R_\xi R_\zeta}{(\xi - \zeta)r} \dfrac{\partial}{\partial \xi} \left[\dfrac{R_\xi r}{R_\zeta} \dfrac{\partial}{\partial \xi}\right] + \frac{4 R_\xi R_\zeta}{(\xi - \zeta)r} \dfrac{\partial}{\partial \zeta} \left[\dfrac{R_\zeta r}{R_\xi} \dfrac{\partial}{\partial \zeta}\right] + \frac{4 R_\xi R_\zeta}{(\xi - \zeta)r} \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left[\dfrac{(\xi - \zeta)}{4 R_\xi R_\zeta r} \dfrac{\partial}{\partial \alpha}\right] =\] \[= \frac{4 R_\xi}{(\xi - \zeta)r} \dfrac{\partial}{\partial \xi} \left[R_\xi r \dfrac{\partial}{\partial \xi}\right] + \frac{4 R_\zeta}{(\xi - \zeta)r} \dfrac{\partial}{\partial \zeta} \left[R_\zeta r \dfrac{\partial}{\partial \zeta}\right] + \frac{1}{r^2} \dfrac{\partial^2}{\partial \alpha^2}.\]