Задача 67. Бисферические координаты $\xi, \eta, \alpha$ связаны с декартовыми координатами соотношениями:

\[\begin{aligned} & x = \dfrac{a \sin \eta \cos \alpha}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta}, \\ & y = \dfrac{a \sin \eta \sin \alpha}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta}, \\ & z = \dfrac{a \mathrm{\,sh\,}\xi }{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta}, \end{aligned}\]

где $a$ - постоянный параметр, $-\infty < \xi < \infty,\quad 0 < \eta < \pi, \quad 0 < \alpha<2\pi$.

Показать, что координатные поверхности $\xi = const$ представляют собой сферы $x^2 + y^2 + (z - a \mathrm{\, cth\,} \xi)^2 = \left(\dfrac{a}{\mathrm{\,sh\,}\xi}\right)^2$ , поверхности $\eta = const$ - веретенообразные поверхности вращения вокруг оси $z$, уравнение которых

\[(\sqrt{x^2 + y^2} - a \mathrm{\,ctg\,} \eta)^2 + z^2 = \left(\frac{a}{\sin \eta}\right)^2,\]

поверхности $\alpha = const$ - полуплоскости, расходящиеся от оси $z$. Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны между собой. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа.

Решение. Исключаем $\alpha$:

\[x^2 + y^2 = \frac{a^2 \sin^2 \eta}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2}\] \[(z - a \mathrm{\,cth\,}\xi)^2 = \frac{a^2 (\mathrm{\,sh^2\,} \xi - \mathrm{\,ch^2\,}\xi + \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta)^2}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2\mathrm{\,sh^2\,}\xi } = \frac{a^2 (- 1 + \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta)^2}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2\mathrm{\,sh^2\,}\xi }\] \[(\sqrt{x^2 + y^2} - a \mathrm{\,ctg\,}\eta)^2 = \left(\frac{a \sin \eta}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta} - a \mathrm{\,ctg\,}\eta\right)^2 =\] \[= \frac{a^2 (1 + \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta)^2}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2 \sin^2 \eta}\]

Проверяем первое соотношение:

\[x^2 + y^2 + (z - a \mathrm{\,cth\,}\xi)^2 = \frac{a^2 [\sin^2 \eta \mathrm{\,sh^2\,} \xi + (- 1 + \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta)^2]}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2\mathrm{\,sh^2\,}\xi } =\] \[= \frac{a^2 [(1 - \cos^2 \eta) \mathrm{\,sh^2\,} \xi + 1 - 2 \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta + \mathrm{\,ch^2\,}\xi \cos^2 \eta]}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2\mathrm{\,sh^2\,}\xi } =\] \[= \frac{a^2 [\mathrm{\,ch^2\,} \xi - 2 \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta + \cos^2 \eta]}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2\mathrm{\,sh^2\,}\xi } = \frac{a^2}{\mathrm{\,sh^2\,}\xi}\]

Проверяем второе соотношение:

\[(\sqrt{x^2 + y^2} - a \mathrm{\,ctg\,} \eta)^2 + z^2 = \frac{a^2 [(1 + \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta)^2 + \sin^2 \eta \mathrm{\,sh^2\,}\xi]}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2 \sin^2 \eta} =\] \[= \frac{a^2 [1 + 2 \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta + \mathrm{\,ch^2\,}\xi \cos^2 \eta + (1 - \cos^2 \eta)\mathrm{\,sh^2\,}\xi]}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2 \sin^2 \eta} =\] \[= \frac{a^2 [ \mathrm{\,ch^2\,} \xi + 2 \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta + \cos^2 \eta ]}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2 \sin^2 \eta} = \frac{a^2}{\sin^2 \eta}\]

Последнюю координатную поверхность получаем из отношения:

\[\frac{y}{x} = \mathrm{\,tg\,}\alpha\]

Очевидно перед нами полуплоскости проходящие через ось $z$.

Ненормированные базисные орты:

\[\begin{aligned} H_\xi \vec{e}_\xi = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \xi} &= - \vec{e}_x \dfrac{a \sin \eta \cos \alpha}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} \mathrm{\,sh\,}\xi - \vec{e}_y \dfrac{a \sin \eta \sin \alpha}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} \mathrm{\,sh\,}\xi + \vec{e}_z \dfrac{a \mathrm{\,ch\,}\xi (\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta) - a \mathrm{\,sh^2\,}\xi}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} = \\ & = - \vec{e}_r \dfrac{a \sin \eta}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} \mathrm{\,sh\,}\xi + \vec{e}_z \dfrac{a (1 - \mathrm{\,ch\,}\xi \cos \eta)}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2}, \\ H_\eta \vec{e}_\eta = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \eta} & = \vec{e}_r \frac{a [\cos \eta (\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta) - \sin^2 \eta]}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} - \vec{e}_z \dfrac{a \mathrm{\,sh\,}\xi \sin \eta}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} = \\ & = \vec{e}_r \frac{a [\cos \eta \mathrm{\,ch\,} \xi - 1]}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} - \vec{e}_z \dfrac{a \mathrm{\,sh\,}\xi \sin \eta}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} \\ H_\alpha \vec{e}_\alpha = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \alpha} & = - \vec{e}_x \dfrac{a \sin \eta \sin \alpha}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta} + \vec{e}_y \dfrac{a \sin \eta \cos \alpha}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta} = \dfrac{a \sin \eta}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta} \vec{e}_\alpha \end{aligned}\]

Здесь $\vec{e}_{r, \alpha}$ - орты цилиндрической системы координат. Ортогональность очевидна. Коэффициенты Ламэ:

\[\begin{aligned} H_\xi = H_\eta & = \sqrt{\dfrac{a^2 \sin^2 \eta \mathrm{\,sh^2\,}\xi}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^4} + \frac{a^2 [\cos \eta \mathrm{\,ch\,} \xi - 1]^2}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^4}} = \frac{a \sqrt{1 - 2 \cos \eta \mathrm{\,ch\,}\xi + \cos^2 \eta \mathrm{\,ch^2\,}\xi + (1 - \cos^2 \eta) \mathrm{\,sh^2\,}\xi}}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} = \\ & = \frac{a \sqrt{\mathrm{\,ch^2\,}\xi - 2 \cos \eta \mathrm{\,ch\,}\xi + \cos^2 \eta }}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2} = \dfrac{a}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta}, \\ H_\alpha & = \dfrac{a \sin \eta}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta}. \end{aligned}\]

Оператор Лапласа:

\[\Delta = \frac{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^3}{a^3 \sin \eta} \left[ \frac{\partial}{\partial \xi} \left( \dfrac{a \sin \eta}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta} \frac{\partial}{\partial \xi} \right) + \frac{\partial}{\partial \eta} \left( \dfrac{a \sin \eta}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta} \frac{\partial}{\partial \eta} \right) + \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( \dfrac{a}{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta) \sin \eta} \frac{\partial}{\partial \alpha} \right) \right] =\] \[= \frac{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^3}{a^2 \sin \eta} \left[ \frac{\partial}{\partial \xi} \left( \dfrac{\sin \eta}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta} \frac{\partial}{\partial \xi} \right) + \frac{\partial}{\partial \eta} \left( \dfrac{\sin \eta}{\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta} \frac{\partial}{\partial \eta} \right) \right] + \frac{(\mathrm{\,ch\,} \xi - \cos \eta)^2}{a^2 \sin^2 \eta} \frac{\partial^2}{\partial \alpha^2}\]