Задача 68. Тороидальные координаты $\rho, \xi, \alpha$ образуют ортогональную систему и связаны с декартовыми координатами соотношениями:

\[\begin{aligned} & x = \dfrac{a \mathrm{\,sh\,} \rho \cos \alpha}{\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi}, \\ & y = \dfrac{a \mathrm{\,sh\,} \rho \sin \alpha}{\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi}, \\ & z = \dfrac{a \sin \xi}{\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi}, \end{aligned}\]

где $a$ - постоянный параметр, $-\infty < \rho < \infty, \quad - \pi < \xi \leqslant \pi$, $\alpha$ - азимутальный угол, изменяющийся в пределах от 0 до $\pi$.

Показать, что

\[\rho = \ln \frac{r_1}{r_2}\]

где $r_1$ - расстояние от точки $(-a, 0, 0)$ до точки $(x, 0, z)$, $r_2$ - расстояние от точки $(a, 0, 0)$ до точки $(x, 0, z)$, а величины $\xi$ представляют собой угол между $\vec{r}_1, \vec{r}_2$ ($\xi > 0$, при $z > 0$, $\xi < 0$, при $z < 0$). Какой вид имеют координатные поверхности $\rho$ и $\xi$? Найти коэффициенты Ламэ.

Решение.

Рассмотрим для начала более общие расстояния до точки $(x, y, z)$:

\[r_{1\alpha}^2 = (x + a)^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 \left[(\mathrm{\,sh\,}\rho \cos \alpha+\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2 + \mathrm{\,sh^2\,}\rho \sin^2 \alpha + \sin^2 \xi \right]}{(\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi)^2} =\] \[= \frac{a^2 \left[\mathrm{\,sh^2\,}\rho \cos^2 \alpha + \mathrm{\,ch^2\,}\rho + \cos^2 \xi + 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\alpha - 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \cos \alpha \cos\xi - 2 \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\xi+ \mathrm{\,sh^2\,}\rho \sin^2 \alpha + \sin^2 \xi \right]}{(\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi)^2} =\] \[= \frac{a^2 \left[\mathrm{\,sh^2\,}\rho + \mathrm{\,ch^2\,}\rho + 1 + 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\alpha - 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \cos \alpha \cos\xi - 2 \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\xi\right]}{(\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi)^2} =\] \[= \frac{a^2 \left[2 \mathrm{\,ch^2\,}\rho + 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\alpha - 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \cos \alpha \cos\xi - 2 \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\xi\right]}{(\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi)^2} =\] \[= \frac{2 a^2 \left[\mathrm{\,ch^2\,}\rho + \mathrm{\,sh\,}\rho \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\alpha - \mathrm{\,sh\,}\rho \cos \alpha \cos\xi - \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\xi\right]}{(\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi)^2} =\] \[= \frac{2 a^2 \left[\mathrm{\,ch\,}\rho + \mathrm{\,sh\,}\rho \cos\alpha \right]}{\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi}\] \[r_{2\alpha}^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 \left[(\mathrm{\,sh\,}\rho \cos \alpha-\mathrm{\,ch\,}\rho + \cos \xi)^2 + \mathrm{\,sh^2\,}\rho \sin^2 \alpha + \sin^2 \xi \right]}{(\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi)^2} =\] \[= \frac{a^2 \left[\mathrm{\,sh^2\,}\rho \cos^2 \alpha + \mathrm{\,ch^2\,}\rho + \cos^2 \xi - 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\alpha + 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \cos \alpha \cos\xi - 2 \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\xi+ \mathrm{\,sh^2\,}\rho \sin^2 \alpha + \sin^2 \xi \right]}{(\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi)^2} =\] \[= \frac{a^2 \left[ 2 \mathrm{\,ch^2\,}\rho - 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\alpha + 2 \mathrm{\,sh\,}\rho \cos \alpha \cos\xi - 2 \mathrm{\,ch\,}\rho \cos\xi \right]}{(\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi)^2} =\] \[= \frac{2 a^2 \left[\mathrm{\,ch\,}\rho - \mathrm{\,sh\,}\rho \cos\alpha \right]}{\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi}\]

Искомое соотношение получаем при $\alpha = 0$:

\[r_1^2 = \frac{2a^2 e^\rho}{\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi}, \quad r_2^2 = \frac{2a^2 e^{-\rho}}{\mathrm{\,ch\,} \rho - \cos \xi}\] \[\ln \frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \ln \frac{e^\rho}{e^{-\rho}} = \rho\]

Угол между $\vec{r}_1, \vec{r}_2$ найдём по теореме косинусов:

\[\cos \angle = \frac{r_1^2 + r_2^2 - 4 a^2}{2 r_1 r_2} = \dfrac{\dfrac{4a^2 \mathrm{\,ch\,}\rho}{\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi} - 4a^2}{\dfrac{4a^2}{\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi}} = \mathrm{\,ch\,}\rho - \mathrm{\,ch\,}\rho + \cos \xi = \cos \xi\]

Уравнение координатных поверхностей $\rho = const$ можно получить из данного соотношения, если учесть поворот на угол $\alpha$ в плоскости $xy$. В этом случае становится очевидно, что уравнение поверхностей $\rho = const$ :

\[\rho = \frac{1}{2} \ln \frac{(\sqrt{x^2 + y^2} + a)^2 + z^2}{(\sqrt{x^2 + y^2} - a)^2 + z^2} = \frac{1}{2} \ln \frac{(r + a)^2 + z^2}{(r - a)^2 + z^2} =\] \[(r + a)^2 + z^2 = e^{2\rho} [(r - a)^2 + z^2]\] \[e^{-\rho} [r^2 + 2 ar + a^2 + z^2] = e^{\rho} [r^2 - 2a r + a^2 + z^2]\] \[(r^2 +a^2 + z^2) \mathrm{\,sh\,}\rho - 2 a r \mathrm{\,ch\,}\rho = 0\] \[r^2 +a^2 + z^2 - 2 a r \mathrm{\,cth\,}\rho = 0\] \[(r - a \mathrm{\,cth\,}\rho)^2 +a^2 (1 - \mathrm{\,cth^2\,}\rho) + z^2 = 0\] \[(r - a \mathrm{\,cth\,}\rho)^2 + z^2 = \frac{a^2}{\mathrm{\,sh^2\,}\rho}\] \[(\sqrt{x^2 + y^2} - a \mathrm{\,cth\,}\rho)^2 + z^2 = \frac{a^2}{\mathrm{\,sh^2\,}\rho}\]

Перед нами поверхности вращения. В плоскости $x, z$ они представляют собой окружности с центром в $x_c =a \mathrm{\,cth\,}\rho, z_c = 0$ и радиусом $a/\mathrm{sh\,}\rho$. Так как $a \mathrm{\,cth\,}\rho > a/\mathrm{sh\,}\rho$, то данные поверхности представляют собой систему тороидальных поверхностей с осями $z$. Рассмотрим аналогичным образом поверхности $\xi = const$:

\[\cos \xi = \frac{(r + a)^2 + (r - a)^2 + 2 z^2 - 4 a^2}{2 \sqrt{(r^2 - a^2)^2 + 2 z^2 (r^2 + a^2) + z^4}} = \frac{2 r^2 + 2 z^2 - 2 a^2}{2 \sqrt{(r^2 - a^2)^2 + 2 z^2 (r^2 + a^2) + z^4}} =\] \[= \frac{r^2 + z^2 - a^2}{\sqrt{r^4 + a^4 - 2 r^2 a^2 + 2 z^2 r^2 + 2 z^2 a^2 + z^4}} =\] \[= \frac{r^2 + z^2 - a^2}{\sqrt{(r^2 + z^2 - a^2)^2 + 4 z^2 a^2}}\]

В результате получаем семейство поверхностей:

\[(r^2 + z^2- a^2)^2 \sin^2 \xi - 4 z^2 a^2 \cos^2 \xi = 0\] \[r^2 + z^2 - a^2 - 2 z a \mathrm{\,ctg\,}\xi = 0\] \[x^2 + y^2 + (z - a \mathrm{\,ctg\,}\xi)^2 = a^2 (1 + \mathrm{\,ctg^2\,}\xi) = \frac{a^2}{\sin^2 \xi}\]

Здесь учтено при вычислении корня условие для $\xi$: $\xi z \geqslant 0$. Перед нами семейство сфер с центрами $(0, 0, a\mathrm{\,ctg\,}\xi)$ и радиусами $a/\lvert\sin \xi\rvert > a \lvert\mathrm{\,ctg\,}\xi\rvert$.

Ненормированные базисные орты:

\[\begin{aligned} H_\xi \vec{e}_\xi = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \xi} & = - \dfrac{a \mathrm{\,sh\,} \rho \sin \xi}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} \vec{e}_r + \dfrac{a [\cos \xi (\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi) - \sin^2 \xi]}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} \vec{e}_z = \\ & = - \dfrac{a \mathrm{\,sh\,} \rho \sin \xi}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} \vec{e}_r + \dfrac{a [\cos \xi \mathrm{\,ch\,}\rho - 1]}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} \vec{e}_z \\ H_\rho \vec{e}_\rho = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \rho} & = \dfrac{a [ \mathrm{\,ch\,} \rho (\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi) - \mathrm{\,sh^2\,} \rho]}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} \vec{e}_r - \dfrac{a \mathrm{\,sh\,}\rho \sin \xi}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} \vec{e}_z \\ & = \dfrac{a [ 1 - \mathrm{\,ch\,} \rho \cos \xi]}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} \vec{e}_r - \dfrac{a \mathrm{\,sh\,}\rho \sin \xi}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} \vec{e}_z \\ H_\alpha \vec{e}_\alpha = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \alpha} & = \dfrac{a \mathrm{\,sh\,} \rho}{\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi} \vec{e}_\alpha \end{aligned}\]

Здесь $\vec{e}_{r, \alpha}$ справа - орты цилиндрической системы координат. Коэффициенты Ламэ:

\[\begin{aligned} H_\xi = H_\rho & = \frac{a \sqrt{(1 - \mathrm{\,ch\,} \rho \cos\xi)^2 + \mathrm{\,sh^2\,}\rho \sin^2 \xi}}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} = \\ & = \frac{a \sqrt{1 - 2 \mathrm{\,ch\,} \rho \cos\xi + \mathrm{\,ch^2\,} \rho \cos^2 \xi + \mathrm{\,sh^2\,}\rho (1 - \cos^2 \xi)}}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} = \\ & = \frac{a \sqrt{\mathrm{\,ch^2\,} \rho - 2 \mathrm{\,ch\,} \rho \cos\xi + \cos^2 \xi }}{(\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi)^2} = \frac{a}{\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi}, \\ H_\alpha & = \dfrac{a \mathrm{\,sh\,} \rho}{\mathrm{\,ch\,}\rho - \cos \xi} \end{aligned}\]