Задача 69. Бесконечная плоская плита толщиной $a$ равномерно заряжена по объёму с плотностью $\rho$. Найти потенциал $\varphi$ и напряжённость $\vec{E}$ электрического поля.

Решение. Будем считать, что плита бесконечна в плоскости $xy$, и имеет конечную толщину в направлении $z$. Координатную систему выберем симметрично плите. В результате:

\[dE_z = \frac{\rho dz}{\varepsilon_0}, \quad E_y = 0, \quad E_z = 0.\] \[E_z = \frac{\rho z}{\varepsilon_0} + const\]

На большом удалении от плиты она должна выглядеть как заряженная плоскость с поверхностной плотностью $\rho a$, отсюда следует. Поверхностных зарядов нет - поле непрерывно:

\[E_z = \begin{cases} - \dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0}, & z<-\dfrac{a}{2}, \\ \dfrac{\rho z}{\varepsilon_0}, & \lvert z \rvert \leqslant \dfrac{a}{2}, \\ \dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0}, & z>\dfrac{a}{2}, \\ \end{cases}\] \[\varphi = -\int E_z dz= \begin{cases} \dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0} z + A_1, & z<-\dfrac{a}{2}, \\ - \dfrac{\rho z^2}{2\varepsilon_0} + A_2, & \lvert z \rvert \leqslant \dfrac{a}{2}, \\ - \dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0} z + A_3, & z>\dfrac{a}{2}, \\ \end{cases}\] \[\begin{aligned} & - \dfrac{\rho a^2}{4 \varepsilon_0} + A_1 = - \dfrac{\rho a^2}{8 \varepsilon_0} + A_2, \\ & - \dfrac{\rho a^2}{4 \varepsilon_0} + A_3 = - \dfrac{\rho a^2}{8 \varepsilon_0} + A_2, \end{aligned}\]

Откуда следует:

\[A_3 = A_1 = A_2 + \dfrac{\rho a^2}{8 \varepsilon_0}\]

Выберем независимую константу так, что $\varphi = 0, z = 0, A_2 = 0$.

\[E_z = \begin{cases} - \dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0}, & z<-\dfrac{a}{2}, \\ \dfrac{\rho z}{\varepsilon_0}, & \lvert z \rvert \leqslant \dfrac{a}{2}, \\ \dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0}, & z>\dfrac{a}{2}, \\ \end{cases} \qquad \varphi = \begin{cases} \dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0} z + \dfrac{\rho a^2}{8 \varepsilon_0}, & z<-\dfrac{a}{2}, \\ - \dfrac{\rho z^2}{2\varepsilon_0}, & \lvert z \rvert \leqslant \dfrac{a}{2}, \\ - \dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0} z + \dfrac{\rho a^2}{8 \varepsilon_0}, & z>\dfrac{a}{2}. \\ \end{cases}\]