Задача 7. Показать, что симметрия тензора есть свойство, инвариантное относительно вращений, т. е. тензор симметричный (антисимметричный) в некоторой системе отсчёта, остаётся симметричным (антисимметричным) и во всех системах, повернутых относительно исходной.

Решение. Пусть:

\[T_{i_1 i_2 \ldots i_m \ldots i_s \ldots i_n} = P T_{i_1 i_2 \ldots i_s \ldots i_m \ldots i_n}\]

где, $P = 1$ для симметричных тензоров по индексам $m$ и $s$ и $P= -1$ для антисимметричных тензоров по осям $m$ и $s$. Тогда в новой системе координат:

\[T_{j_1 j_2 \ldots j_m \ldots j_s \ldots j_n}' = \alpha_{j_1 i_1} \alpha_{j_2 i_2} \ldots \alpha_{j_m i_m} \ldots \alpha_{j_s i_s} \ldots \alpha_{j_n i_n} T_{i_1 i_2 \ldots i_m \ldots i_s \ldots i_n}=\] \[= \alpha_{j_1 i_1} \alpha_{j_2 i_2} \ldots \alpha_{j_m i_m} \ldots \alpha_{j_s i_s} \ldots \alpha_{j_n i_n} T_{i_1 i_2 \ldots i_s \ldots i_m \ldots i_n}=(1)\]

Меняем местами немые индексы $i_s$ и $i_m$, а затем коэффициенты в сумме произведений $\alpha_{j_m i_s}$ и $\alpha_{j_s i_m}$, обращая внимание на последовательность индексов:

\[(1)= \alpha_{j_1 i_1} \alpha_{j_2 i_2} \ldots \alpha_{j_m i_s} \ldots \alpha_{j_s i_m} \ldots \alpha_{j_n i_n} PT_{i_1 i_2 \ldots i_m \ldots i_s \ldots i_n} = PT_{j_1 j_2 \ldots j_s \ldots j_s \ldots j_n}'\]

Утверждение задачи доказано.