Задача 70. Заряд распределён в пространстве по периодическому закону $\rho = \rho_0 \cos \alpha x \cos \beta y \cos \gamma z$, образуя бесконечную пространственную периодическую решётку. Найти потенциал $\varphi$ электрического поля.

Решение. Запишем уравнение Пуассона:

\[\Delta \varphi = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} = - \frac{\rho_0 \cos \alpha x \cos \beta y \cos \gamma z}{\varepsilon_0}\]

Отметим, что функция справа является собственной для оператора Лапласа. Поэтому ищем решение в виде правой части, умноженной на постоянную:

\[\varphi = \varphi_0 \cos \alpha x \cos \beta y \cos \gamma z\] \[- \varphi_0 (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) \cos \alpha x \cos \beta y \cos \gamma z = - \frac{\rho_0 \cos \alpha x \cos \beta y \cos \gamma z}{\varepsilon_0}\]

Отсюда получаем частное решение:

\[\varphi_0 = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)}\] \[\varphi = \frac{\rho_0 \cos \alpha x \cos \beta y \cos \gamma z}{\varepsilon_0 (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)}\]

Общее решение получим, если прибавим к частному решению неоднородного уравнения решение однородного уравнения. Оно справедливо с точностью до аддитивной постоянной.