Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, 1970

Задача 71. Плоскость $z = 0$ заряжена с плотностью, меняющейся по периодическому закону $\sigma = \sigma_0 \sin \alpha x \sin \beta y$, где $\sigma_0, \alpha, \beta$ - постоянные. Найти потенциал $\varphi$ этой системы зарядов.

Решение. Запишем уравнение Пуассона:

$$\Delta \varphi = - \frac{\sigma \delta(z)}{\varepsilon_0} = - \frac{\sigma_0 \delta(z) \sin \alpha x \sin \beta y}{\varepsilon_0}$$

Выражение в правой части представляет собой собственную функцию оператора Лапласа, умноженную на функцию $\delta(z)$. Будем искать решение в форме произведения собственной функции оператора Лапласа на $Z(z)$:

$$\varphi = Z(z) \sin \alpha x \sin \beta y$$ $$\Delta \varphi = [Z'' - (\alpha^2 + \beta^2) Z] \sin \alpha x \sin \beta y = - \frac{\sigma_0 \delta(z) \sin \alpha x \sin \beta y}{\varepsilon_0}$$

Отсюда:

$$Z'' - \lambda^2 Z = - \frac{\sigma_0 \delta(z)}{\varepsilon_0}$$

Чтобы решить данное уравнение, рассмотрим несколько иное уравнение:

$$Y'' - \lambda^2 Y = - \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0} \mathrm{\,sign\,} z$$

Его решение можно искать в классе непрерывных функций с непрерывной производной, ограниченных на бесконечности (чтобы поле на бесконечности до бесконечности не возрастало). При $z > 0$:

$$Y_+ = A_+ e^{\lambda z} + B_+ e^{-\lambda z} + \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0 \lambda^2}$$

При $z < 0$:

$$Y_- = A_- e^{\lambda z} + B_- e^{-\lambda z} - \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0 \lambda^2}$$

Получаем систему:

$$A_+ + B_+ + \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0 \lambda^2} = A_-+B_- - \frac{\sigma_0}{2 \varepsilon_0 \lambda^2}$$ $$A_+ - B_+ = A_- - B_-$$

В силу ограниченности

$$A_+ = 0, \quad B_- = 0$$ $$B_+ - A_- = - \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0 \lambda^2}$$ $$B_+ + A_- = 0$$ $$B_+ = - \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0 \lambda^2}, \quad A_- = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0 \lambda^2}$$ $$Y = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0 \lambda^2} (1 - e^{- \lambda |z|}) \mathrm{\,sign\,}(z)$$ $$Z = Y' = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0 \lambda^2} (1 - e^{- \lambda |z|}) \delta (z) + \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0 \lambda} e^{- \lambda |z|} \mathrm{\,sign^2\,}(z) = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0 \lambda} e^{- \lambda |z|}$$

Окончательно получаем частное решение уравнения Пуассона:

$$\varphi = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0 \lambda} e^{- \lambda |z|} \sin \alpha x \sin \beta y, \quad \lambda = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}.$$

Общее решение в силу теоремы о том, что гармоническая во всём пространстве функция есть постоянная, отличается от частного только аддитивной постоянной.