Задача 72. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса $R$ равномерно заряжен по объёму или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд $\varkappa$. Найти потенциал $\varphi$ и напряжённость электрического поля $\vec{E}$.

Решение. Очевидно, что в силу симметрии задачи $\varphi = \varphi(r), \vec{E} = E_r \vec{e}_r$ в цилиндрической системе координат. Пусть цилиндр заряжен по объёму. Вне цилиндра:

\[\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left(r \frac{d \varphi}{dr}\right) = 0, \quad \varphi = A_{ex} \ln \frac{r}{R} + B_{ex}\]

Внутри цилиндра:

\[\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left(r \frac{d \varphi}{dr}\right) = - \frac{\varkappa}{\pi R^2 \varepsilon_0}, \quad \varphi = A_{in} \ln \frac{r}{R} + B_{in} - \frac{\varkappa}{\pi R^2 \varepsilon_0} \frac{r^2}{4}\]

Полагая поле внутри цилиндра ограниченным:

\[A_{in} = 0\]

Из непрерывности поля и потенциала на границе:

\[\begin{aligned} & B_{ex} = B_{in} - \frac{\varkappa}{\pi R^2 \varepsilon_0} \frac{R^2}{4}, \\ & \frac{A_{ex}}{R} = - \frac{\varkappa}{\pi R^2 \varepsilon_0} \frac{R}{2}. \end{aligned}\]

Потенциал определён с точностью до аддитивной постоянной. Полагая, что на границе цилиндра потенциал равен 0, $B_{ex} = 0$:

\[A_{ex} = - \frac{\varkappa}{\pi R^2 \varepsilon_0} \frac{R^2}{2}, \qquad B_{in} = \frac{\varkappa}{4\pi \varepsilon_0}.\] \[\varphi = \begin{cases} \dfrac{\varkappa}{4 \pi \varepsilon_0} \left(1 - \dfrac{r^2}{R^2 }\right), & r< R; \\ - \dfrac{\varkappa}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \dfrac{r}{R} , & r\geqslant R; \end{cases}\quad E_r = \begin{cases} \dfrac{\varkappa}{2 \pi \varepsilon_0} \dfrac{r}{R^2}, & r< R; \\ \dfrac{\varkappa}{2 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r}, & r\geqslant R. \end{cases}\qquad\]

Пусть цилиндр заряжен равномерно по поверхности. В данном случае наиболее простым методом (впрочем и выше, этот метод позволил добиться бы результата несколько быстрее) будет использование теоремы Гаусса. Выбираем вне цилиндра цилиндр радиуса $r$ и длины $L$:

\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = E_r 2\pi r L = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{\varkappa L}{\varepsilon_0}\] \[E_r = \frac{\varkappa}{2\pi \varepsilon_0 r}, \quad \varphi = - \int E_r dr = - \frac{\varkappa}{2\pi \varepsilon_0} \ln r + const\]

Внутри цилиндра:

\[E_r = 0, \qquad \varphi = const\]

Из непрерывности поля $\varphi$ на границе и произвольности выбора аддитивной постоянной, выберем постоянную так, чтобы $\varphi = 0, r = R$:

\[\varphi = \begin{cases} 0, & r<R; \\ - \dfrac{\varkappa}{2\pi \varepsilon_0} \ln \dfrac{r}{R}, & r \geqslant R; \end{cases} \qquad E_r = \begin{cases} 0, & r<R; \\ \dfrac{\varkappa}{2\pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r}, & r \geqslant R. \end{cases}\]