Задача 73. Найти потенциал $\varphi$ и напряжённость $\vec{E}$ электрического поля равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити.

Решение. Из симметрии задачи вытекает, что $\varphi = \varphi(r), \vec{E} = E_r \vec{e}_r$ в цилиндрической системе координат. Выбираем цилиндр вокруг нити радиуса $r$ и длиной $L$. По теореме Гаусса:

\[\oint \vec{E} \cdot d \vec{S} = E_r 2\pi r L = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{\varkappa L}{\varepsilon_0}.\] \[E_r = \frac{\varkappa}{2\pi \varepsilon_0 r}, \qquad \varphi = - \int E_r dr = - \frac{\varkappa}{2\pi \varepsilon_0} \ln r + const\]