Задача 74. Найти потенциал $\varphi$ и напряжённость $\vec{E}$ электрического поля равномерно заряженного прямолинейного отрезка длиной $2 a$, занимающего часть оси $z$ от $-a$ до $+a$; заряд отрезка $q$.

Решение. Здесь теорема Гаусса не поможет. Придётся интегрировать. Находим сначала потенциал в цилиндрической системе координат в точке $(r, 0, z)$, расстояние $R$ - расстояние между точкой на отрезке $(0, 0, z’)$ и точкой $(r, 0, z)$:

\[\varphi = \int \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 R} = \int\limits_{-a}^a \frac{q dz'}{8 \pi \varepsilon_0 a \sqrt{(z - z')^2 + r^2}} = \frac{q}{8\pi\varepsilon_0 a} \int\limits_{-a}^a \frac{d \left(\dfrac{z' - z}{r}\right)}{\sqrt{\left(\dfrac{z' - z}{r}\right)^2 + 1}} =\] \[= \frac{q}{8\pi \varepsilon_0 a} \left( \mathrm{\,arsh\,} \left| \frac{z' - z}{r} \right| \right)_{z' = -a}^{z' = a}\] \[\mathrm{\,sh\,} y = x, \quad \frac{e^y - e^{-y}}{2} = x\] \[e^y = x \pm \sqrt{x^2 + 1} = x + \sqrt{x^2 + 1} > 0\] \[y = \mathrm{\,arsh\,}x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1})\] \[\varphi = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0 a} \ln \frac{\dfrac{a - z}{r} + \sqrt{\left(\dfrac{a - z}{r}\right)^2 + 1}}{\dfrac{- a - z}{r} + \sqrt{\left(\dfrac{- a - z}{r}\right)^2 + 1}} =\] \[= \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0 a} \ln \frac{\sqrt{(a - z)^2 + r^2} + a - z}{\sqrt{(a + z)^2 + r^2} - a - z} =\] \[= \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0 a} \ln \left(\frac{r^2}{\sqrt{(a - z)^2 + r^2} + a - z} \frac{\sqrt{(a + z)^2 + r^2} - a - z}{r^2}\right) =\] \[= \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0 a} \ln \frac{\sqrt{(a + z)^2 + r^2} - a - z}{\sqrt{(a - z)^2 + r^2} + a - z}\]

Для поиска напряженности можно воспользоваться соотношением c $\mathrm{\,arsh\,}$:

\[\begin{aligned} & E_r = - \frac{q}{8\pi \varepsilon_0 a} \left( - \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a - z}{r} \right)^2 + 1}} \frac{a - z}{r^2} - \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a + z}{r} \right)^2 + 1}} \frac{a + z}{r^2}\right), \\ & E_z = - \frac{q}{8\pi \varepsilon_0 a} \left( - \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a - z}{r} \right)^2 + 1}} \frac{1}{r} + \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a + z}{r} \right)^2 + 1}} \frac{1}{r}\right), \end{aligned}\]