Задача 75. Найти форму эквипотенциальных поверхностей равномерно заряженного отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче.

Решение.

\[\varphi = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0 a} \ln \frac{\sqrt{(a + z)^2 + r^2} - a - z}{\sqrt{(a - z)^2 + r^2} + a - z}\] \[\frac{\sqrt{(a + z)^2 + r^2} - a - z}{\sqrt{(a - z)^2 + r^2} + a - z} = \exp {\frac{8 \pi \varepsilon_0 a \varphi}{q}} = b\] \[\left(\sqrt{(a + z)^2 + r^2} - b \sqrt{(a - z)^2 + r^2}\right)^2 = (a + z + b(a - z))^2\] \[- 2 b \sqrt{(a + z)^2 + r^2} \sqrt{(a - z)^2 + r^2} = (a + z + b(a - z))^2 - (a + z)^2 - r^2 - b^2 (a - z)^2 - b^2 r^2\] \[- 2 b \sqrt{(a^2 - z^2)^2 + 2 r^2 (a^2 + z^2)+ r^4} = 2 b (a^2 - z^2) - r^2 ( 1 + b^2)\] \[- \sqrt{(a^2 - z^2)^2 + 2 r^2 (a^2 + z^2)+ r^4} = (a^2 - z^2) - r^2 \frac{1 + b^2}{2b}\] \[(a^2 - z^2)^2 + 2 r^2 (a^2 + z^2)+ r^4 = (a^2 - z^2)^2 - 2 r^2 (a^2 - z^2) \frac{1 + b^2}{2b} + r^4 \left(\frac{1 + b^2}{2b}\right)^2\] \[2 (a^2 + z^2) = - 2 (a^2 - z^2) \frac{1 + b^2}{2b} + r^2 \left(\frac{1 + b^4}{4b^2} - \frac{1}{2}\right)\] \[2 a^2 \left(1 + \frac{1 + b^2}{2 b}\right) = 2 z^2 \left( \frac{1 + b^2}{2b} - 1 \right) + r^2 \left(\frac{1 - b^2}{2b}\right)^2\] \[2 a^2 \frac{(1 + b)^2}{2b} = 2 z^2 \frac{(1 - b)^2}{2b} + r^2 \left(\frac{1 - b^2}{2b}\right)^2\] \[1 = \frac{z^2}{a^2} \left(\frac{1 - b}{1 + b}\right)^2 + \frac{r^2}{2 a^2} \frac{(1 - b)^2}{2b}\] \[\frac{z^2}{a^2} \mathrm{\,th^2\,} \frac{4 \pi \varepsilon_0 a \varphi}{q} + \frac{r^2}{a^2} \mathrm{\,sh^2\,} \frac{4 \pi \varepsilon_0 a \varphi}{q} = 1\]

Перед нами эллипсоид вращения с полуосями по $x, y$: $a/ \mathrm{\,sh\,} \frac{4 \pi \varepsilon_0 a \varphi}{q}$, и по оси $z$: $a/ \mathrm{\,th\,} \frac{4 \pi \varepsilon_0 a \varphi}{q}$. Расстояние между его фокусами можно найти по основному свойству эллипса. Сумма расстояний от точки эллипса до фокусов есть величина постоянная. Если половину от расстояния между фокусами обозначить за $f$, расстояние от точки эллипса до первого фокуса $r_1$, до второго фокуса $r_2$, а полуоси обозначить:

\[a_1 = \dfrac{a}{\mathrm{\,th\,} \frac{4 \pi \varepsilon_0 a \varphi}{q}}\geqslant \dfrac{a}{ \mathrm{\,sh\,} \frac{4 \pi \varepsilon_0 a \varphi}{q}} = a_2\] \[r_1 + r_2 = (a_1 + f) + (a_1 - f) = 2 a_1 = 2 \sqrt{f^2 + a_2^2}\] \[f^2 = a_1^2 - a_2^2\] \[f = 2\sqrt{\frac{a^2}{\mathrm{\,th^2\,} \frac{4 \pi \varepsilon_0 a \varphi}{q}} -\frac{a^2}{\mathrm{\,sh^2\,} \frac{4 \pi \varepsilon_0 a \varphi}{q}}} = 2a\]

Таким образом, фокусы эллипсоида вращения совпадают с концами заряженного отрезка.