Задача 76. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического поля шара, равномерно заряженного по объёму. Радиус шара $R$, заряд $q$.

Решение. Применяем теорему Гаусса, учитывая, что в случае сферической симметрии направления осей не имеют значения и следовательно $\varphi = \varphi(r)$, $\vec{E} = E_r \vec{e}_r$ в сферических координатах. Выбираем сферу радиуса $r$ внутри шара:

\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = E_r 4 \pi r^2 = \frac{q}{\frac{4}{3} \pi R^3 \varepsilon_0} \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{q}{\varepsilon_0} \frac{r^3}{R^3}\] \[E_r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^3} r, \qquad \varphi = - \int E_r dr = - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^3} \frac{r^2}{2} + const_1\]

Вне шара:

\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = E_r 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}\] \[E_r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} + const_2\]

Полагая, что на бесконечности $\varphi = 0$, и используя свойство непрерывности потенциала и поля на границе шара:

\[- \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} \frac{1}{2} + const_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}\] \[const_1 = \frac{3}{2} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}\]

Окончательно:

\[\varphi = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{r^2}{2R^2}\right), & r< R; \\ \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}, & r\geqslant R; \\ \end{cases}\qquad E_r = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^3} r, & r< R; \\ \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & r\geqslant R. \\ \end{cases}\]