Задача 77. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического поля сферы радиуса $R$, равномерно заряженной по поверхности. Заряд сферы $q$.

Решение. Применяем теорему Гаусса, учитывая, что в случае сферической симметрии направления осей не имеют значения и следовательно $\varphi = \varphi(r)$, $\vec{E} = E_r \vec{e}_r$ в сферических координатах. Выбираем сферу радиуса $r$ внутри заряженной сферы:

\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = E_r 4 \pi r^2 = 0\] \[E_r = 0, \qquad \varphi = - \int E_r dr = const_1\]

Вне заряженной сферы:

\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = E_r 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}\] \[E_r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} + const_2\]

Полагая, что на бесконечности $\varphi = 0$, и используя свойство непрерывности потенциала и поля на сфере:

\[const_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}\]

Окончательно:

\[\varphi = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} , & r< R; \\ \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}, & r\geqslant R; \\ \end{cases}\qquad E_r = \begin{cases} 0, & r< R; \\ \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & r > R. \\ \end{cases}\]