Задача 78. Внутри шара радиуса $R$, равномерно заряженного по объёму с плотностью $\rho$, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой $R_1$, а центр отстоит от центра шара на расстояние $a(a + R_1 < R)$. Найти электрическое поле $\vec{E}$ в полости.

Решение. Так как полость целиком лежит внутри сферы, то заполняем полость и используем принцип суперпозиции. Обозначим через $\vec{E}_2$ полное поле шара с заполненной полостью, а через $\vec{E}_1$ поле заполненной области:

\[\vec{E}_2 = \vec{E}_1 + \vec{E}\] \[\vec{E} = \vec{E}_2 - \vec{E}_1 = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0} \vec{r} - \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0} \vec{r}_1 = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0} (\vec{r} - \vec{r}_1)\]

Где $\vec{r}_1$ начинается от центра полости и идёт в точку, в которой мы ищем поле.

\[\vec{r}_1 = \vec{r} - \vec{a},\]

где $\vec{a}$ - вектор, проведённый от центра шара, до центра полости. Поэтому:

\[\vec{E} = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0} \vec{a}\]