Задача 79. Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы которых $R_1$ и $R_2$ ($R_1 < R_2$), заряжено с объёмной плотностью $\rho = \alpha/r^2$. Найти полный заряд $q$, потенциал $\varphi$ и напряжённость $\vec{E}$ электрического поля. Рассмотреть предельный случай $R_2 \to R_1$, считая при этом $q = const$.

Решение. Оператор Лапласа, между концентрическими сферами: \(\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right) = - \frac{\alpha}{\varepsilon_0 r^2},\)

\[E_r = - \frac{\partial \varphi}{\partial r} = \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \frac{1}{r} - \frac{A_2}{r^2},\] \[\varphi = - \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \ln r - \frac{A_2}{r} + B_2.\]

За пределами сфер:

\[\varphi = - \frac{A_3}{r}, \qquad E_r = - \frac{A_3}{r^2}.\]

Внутри сфер:

\[\varphi = B_1, \qquad E_r = 0.\]

Находим постоянные из условия непрерывности потенциала и поля на границе раздела сред:

\[\begin{alignedat}{} & \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \frac{1}{R_1} - \frac{A_2}{R_1^2} = 0, & A_2 = \frac{\alpha}{\varepsilon_0} R_1; \\ & \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \frac{1}{R_2} - \frac{A_2}{R_2^2} = - \frac{A_3}{R_2^2}, & A_3 = \frac{\alpha}{\varepsilon_0} (R_1 - R_2); \\ & - \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \ln R_2 - \frac{A_2}{R_2} + B_2 = - \frac{A_3}{R_2}, & B_2 = \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \ln R_2 + \frac{\alpha}{\varepsilon_0};\\ & B_1 = - \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \ln R_1 - \frac{A_2}{R_1} + B_2, & B_1 = \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \ln \frac{R_2}{R_1}. \end{alignedat}\]

В результате:

\[\varphi = \begin{cases} \dfrac{\alpha}{\varepsilon_0} \ln \dfrac{R_2}{R_1}, & r < R_1; \\ \dfrac{\alpha}{\varepsilon_0} \left(\ln \dfrac{R_2}{r} - \dfrac{R_1}{r} + 1 \right), & R_1 \leqslant r < R_2; \\ \dfrac{\alpha}{\varepsilon_0} \dfrac{R_2 - R_1}{r}, & R_2 \leqslant r; \\ \end{cases} \qquad E_r = \begin{cases} 0, & r < R_1; \\ \dfrac{\alpha}{\varepsilon_0} \left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{R_1}{r^2} \right), & R_1 \leqslant r < R_2; \\ \dfrac{\alpha}{\varepsilon_0} \dfrac{R_2 - R_1}{r^2}, & R_2 \leqslant r. \\ \end{cases}\]

Заряд между сферами:

\[q = \int 4\pi r^2 \rho dr = 4\pi \alpha (R_2 - R_1)\]

Поэтому:

\[\varphi = \begin{cases} \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{\ln R_2 - \ln R_1}{R_2 - R_1}, & r < R_1; \\ \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 (R_2 - R_1)} \left(\ln \dfrac{R_2}{r} - \dfrac{R_1}{r} + 1 \right), & R_1 \leqslant r < R_2; \\ \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r}, & R_2 \leqslant r; \\ \end{cases} \qquad E_r = \begin{cases} 0, & r < R_1; \\ \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{r - R_1}{r^2(R_2 - R_1)}, & R_1 \leqslant r < R_2; \\ \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}, & R_2 \leqslant r. \\ \end{cases}\]

Устремляя $R_1 \to R_2 = R$:

\[\varphi = \begin{cases} \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}, & r < R; \\ \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r}, & R\leqslant r; \\ \end{cases} \qquad E_r = \begin{cases} 0, & r < R; \\ \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}, & R < r. \\ \end{cases}\]

Отдельно рассмотрим поле $E_r$ между сферами. Потенциал остаётся непрерывным, а вот с полем не всё так просто:

\[\lim_{R_1 \to R_2 = R} \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{r - R_1}{r(R_2 - R_1)} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} \lim_{R_1 \to R_2 = R} \dfrac{r - R_1}{R_2 - R_1}\]

Видно, что последний предел не определён. В самом деле, $r$ принимает любые значения от $R_1$ до $R_2$, соответственно предел принимает в зависимости от $r$ любые значения от 0 до 1. Это означает, что поле на сфере не определено.