Задача 81. Заряд распределён сферически симметричным образом: $\rho = \rho(r)$. Разбив распределение заряда на сферические слои, выразить через $\rho(r)$ потенциал $\varphi$ и напряженность $E_r$ поля (записать $\varphi$ и $E_r$ в виде однократного интеграла по $r$).

Решение. Поле сферы радиуса $R$ с зарядом $dq = \rho(R) 4\pi R^2 dR$:

\[d\varphi = \begin{cases} \dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0 R} , & r< R; \\ \dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r}, & r\geqslant R; \\ \end{cases}\qquad dE_r = \begin{cases} 0, & r< R; \\ \dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & r > R. \\ \end{cases}\]

Откуда сразу следует:

\[\begin{aligned} & \varphi = \frac{1}{\varepsilon_0} \left[\frac{1}{r}\int\limits_0^r \rho(R) R^2 dR + \int\limits_r^\infty \rho(R) R dR \right], \\ & E_r = \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \int\limits_0^r \rho(R) R^2 dR. \end{aligned}\]