Задача 82. Используя результаты задачи 81, решить задачи 76, 79.

Решение. Для однородно заряженного шара внутри шара ($r<R$): \(\begin{aligned} \varphi = & \frac{1}{\varepsilon_0} \left[\frac{1}{r}\int\limits_0^r \rho(r') r'^2 dr' + \int\limits_r^\infty \rho(r') r' dr' \right] = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \left[\frac{r^2}{3} + \frac{R^2}{2} - \frac{r^2}{2}\right] = \\ = & \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} \left[\frac{3}{2} - \frac{r^2}{2 R^2}\right],\\ E_r = & \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \int\limits_0^r \rho(r') r'^2 dr' = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \frac{r}{3} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^3} r. \end{aligned}\)

Вне шара ($r > R$):

\[\begin{aligned} \varphi = & \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{1}{r}\int\limits_0^R \rho(r') r'^2 dr' = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r},\\ E_r = & \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \int\limits_0^R \rho(r') r'^2 dr' = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.\end{aligned}\]

Для сферического слоя с плотностью $\rho = \alpha/r^2, r \in [R_1, R_2]$ при $r < R_1$:

\[\begin{aligned}\varphi = & \frac{1}{\varepsilon_0} \int\limits_{R_1}^{R_2} \rho(r') r' dr' = \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \ln \frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 (R_2 - R_1)} \ln \frac{R_2}{R_1},\\ E_r = & \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \int\limits_0^r \rho(r') r'^2 dr' = 0.\end{aligned}\]

При $R_1 < r < R_2$:

\[\begin{aligned} \varphi = & \frac{1}{\varepsilon_0} \left[\frac{1}{r}\int\limits_{R_1}^r \rho(r') r'^2 dr' + \int\limits_r^{R_2} \rho(r') r' dr' \right] = \frac{\alpha}{\varepsilon_0} \left[1 - \frac{R_1}{r} + \ln \frac{R_2}{r}\right] = \\ = &\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 (R_2 - R_1)} \left[1 - \frac{R_1}{r} + \ln \frac{R_2}{r}\right],\\ E_r = & \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \int\limits_{R_1}^r \rho(r') r'^2 dr' = \frac{\alpha (r - R_1)}{\varepsilon_0 r^2} = \frac{q (r - R_1)}{4\pi\varepsilon_0 r^2 (R_2 - R_1)}. \end{aligned}\]

При $r > R_2$:

\[\begin{aligned} \varphi = & \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{1}{r}\int\limits_{R_1}^{R_2} \rho(r') r'^2 dr' = \frac{\alpha}{\varepsilon_0} (R_2 - R_1) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r},\\ E_r = & \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \int\limits_{R_1}^{R_2} \rho(r') r'^2 dr' = \frac{\alpha (R_2 - R_1)}{\varepsilon_0 r^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}. \end{aligned}\]