Задача 83. Заряд электрона распределён в атоме водорода, находящемся в нормальном состоянии, с плотностью

\[\rho(r) = - \frac{e_0}{\pi a^3} \exp\left(- \frac{2r}{a}\right),\]

$a = 0{,}529\cdot 10^{-10}$ м - боровский радиус атома, $e_0 = 1{,}602\cdot 10^{-19}$ Кл - элементарный заряд. Найти потенциал $\varphi_e$ и напряжённость $E_{er}$ электрического поля электронного заряда, а также полные потенциал $\varphi$ и напряженность поля $E_r$ в а томе, считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат. Построить приблизительный ход величин $\varphi$ и $E_r$.

Решение. Используем результат задачи 81, обозначив $\beta = 2/a$:

\[\varphi_e = \frac{1}{\varepsilon_0} \left[\frac{1}{r}\int\limits_0^r \rho(r') r'^2 dr' + \int\limits_r^\infty \rho(r') r' dr' \right] =\] \[= - \frac{e_0}{\varepsilon_0 \pi a^3} \left[\frac{1}{r}\int\limits_0^r r'^2 e^{-\beta r'} dr' + \int\limits_r^\infty r' e^{-\beta r'} dr' \right] =\] \[= - \frac{e_0}{\varepsilon_0 \pi a^3} \left[\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial \beta^2}\int\limits_0^r e^{-\beta r'} dr' - \frac{\partial}{\partial \beta}\int\limits_r^\infty e^{-\beta r'} dr' \right] =\] \[= - \frac{e_0}{\varepsilon_0 \pi a^3} \left[\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial \beta^2} \frac{e^{-\beta r} - 1}{(-\beta)} - \frac{\partial}{\partial \beta} \frac{e^{-\beta r}}{\beta} \right] =\] \[= - \frac{e_0}{\varepsilon_0 \pi a^3} \left[\frac{1}{r} \frac{r^2 e^{-\beta r}}{(-\beta)} + \frac{2}{r} \frac{(-r) e^{-\beta r}}{\beta^2} + \frac{2}{r} \frac{e^{-\beta r} - 1}{(-\beta^3)}+ r \frac{e^{-\beta r}}{\beta} + \frac{e^{-\beta r}}{\beta^2} \right] =\] \[= - \frac{e_0}{\varepsilon_0 \pi a^3} \left[\frac{2}{r} \frac{1 - e^{-\beta r}}{\beta^3} - \frac{e^{-\beta r}}{\beta^2} \right] =\] \[= - \frac{e_0}{8 \pi \varepsilon_0 r} \left[2 - (2 + \beta r) e^{-\beta r} \right]\] \[E_{er} = - \frac{e_0}{\varepsilon_0 \pi a^3} \frac{1}{r^2} \int\limits_0^r r'^2 e^{-\beta r'}dr' = - \frac{e_0}{\varepsilon_0 \pi a}\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \beta^2} \frac{1 - e^{-\beta r}}{\beta} =\] \[= - \frac{e_0}{\varepsilon_0 \pi a^3}\frac{1}{r^2} \left[\frac{- r^2 e^{-\beta r}}{\beta} - 2 \frac{ r e^{-\beta r}}{\beta^2} + 2 \frac{1 - e^{-\beta r}}{\beta^3} \right] =\] \[= - \frac{e_0}{8 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{r^2} \left[2 - \left(\beta^2 r ^2 + 2 \beta r + 2 \right) e^{-\beta r} \right]\]

В результате потенциал $\varphi$ и напряжённость поля $E_r$ атома водорода в основном состоянии:

\[\begin{aligned} & \varphi = \frac{e_0}{4\pi \varepsilon_0 r} + \varphi_e = \frac{e_0}{8\pi\varepsilon_0 r} (2 + \beta r) e^{-\beta r}, \\ & E_r = \frac{e_0}{4\pi \varepsilon_0 r^2} + E_{er} = \frac{e_0}{8\pi \varepsilon_0 r^2} (2 + 2 \beta r + \beta^2 r^2) e^{-\beta r}. \end{aligned}\]

Отсюда следует, что потенциал экранируется - убывает быстрее, чем кулоновский потенциал. Максимумом потенциал не обладает. Для построения графика удобно ввести потенциал ядра на боровской орбите и поле ядра на боровской орбите:

Потенциал на боровской орбите Поле на боровской орбите
$\varphi_a = \frac{e_0}{4\pi\varepsilon_0 a} \approx 27{,}2$ В $E_{a} = \frac{e_0}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \approx 5{,}14\cdot10^{11}$ В/м
\[\varphi = \varphi_a \left(2 + \beta r\right) \frac{e^{-\beta r}}{\beta r}, \qquad E_r = E_{a} \left(4 + 4\beta r + 2\beta^2 r^2\right) \frac{e^{-\beta r}}{\beta^2 r^2}.\]

Потенциал и поле ядра:

\[\varphi_0 = \varphi_a \frac{2}{\beta r}, \qquad E_{0r} = E_a \frac{4}{\beta^2 r^2}.\]