Задача 84. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти максимальное значение напряженности его электрического поля $E_{max}$. Радиус ядра $R = 1{,}5\cdot10^{-15} A^{1/3}$ м, заряд $Ze_0$ ($A$ - атомный вес, $Z$ - порядковый номер, $e_0$ - элементарный заряд).

Решение. Поле шара:

\[E_r = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^3} r, & r< R; \\ \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & r\geqslant R. \\ \end{cases}\]

Функция сначала возрастающая, затем убывающая. Максимальное его значение достигается на границе:

\[E_{max} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} = \frac{Z e_0}{4\pi \varepsilon_0 R_p^2 A^{2/3}} = \frac{e_0}{4\pi\varepsilon_0 R_p^2} \frac{Z}{A^{2/3}} \approx 6{,}4 \cdot 10^{20} \frac{Z}{A^{2/3}} \,\text{В/м}\]

Здесь $R_p$ обозначен радиус протона.