Задача 85. Используя результат задачи 81:

\[\begin{aligned} & \varphi = \frac{1}{\varepsilon_0} \left[\frac{1}{r}\int\limits_0^r \rho(r') r'^2 dr' + \int\limits_r^\infty \rho(r') r' dr' \right], \\ & E_r = \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \int\limits_0^r \rho(r') r'^2 dr', \end{aligned}\]

найти поле равномерно заряженной сферы (решить задачу 77).

Решение. Плотность равномерно заряженной сферы необходимо выбрать таким образом, чтобы:

\[\int \rho dV = 4 \pi \int\limits_0^\infty r^2 \rho(r) dr = q = 4\pi R^2 \sigma,\] \[\rho = \sigma \delta(r - R) = \frac{q}{4\pi R^2} \delta(r - R),\] \[\begin{aligned} \varphi = & \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \left[\frac{1}{r}\int\limits_0^r r'^2 \delta(r' - R) dr' + \int\limits_r^\infty r' \delta(r' - R) dr' \right] = \\ = & \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \begin{cases} R, & r < R; \\ \dfrac{R^2}{r}, & r > R; \end{cases} = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}, & r < R; \\ \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}, & r > R; \end{cases} = \\ E_r = & \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \frac{1}{r^2} \int\limits_0^r \delta(r' - R) r'^2 dr' = \begin{cases} 0, & r<R; \\ \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & r>R. \end{cases} \end{aligned}\]