Задача 86. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец одинакового радиуса $R$ находятся на расстоянии $a$ друг от друга. Работа, которую надо совершить, чтобы перенести точечный заряд $q$ из бесконечности в центр каждого из колец, равна соответственно $A_1$ и $A_2$. Найти заряды на кольцах $q_1$ и $q_2$.

Решение. Потенциал на оси кольца с зарядом $Q$:

\[\varphi(z) = \int \frac{dQ}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{R^2 + z^2}}.\]

Работа, делённая на заряд есть потенциал в данной точке. В результате:

\[\begin{aligned} & \frac{A_1}{q} = \frac{q_2}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + a^2}} + \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 R}, \\ & \frac{A_2}{q} = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 R} + \frac{q_1}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + a^2}} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & \frac{4\pi\varepsilon_0 A_1}{q} \sqrt{R^2 + a^2} - \frac{4\pi\varepsilon_0 A_2}{q} R = q_1 \left(\frac{\sqrt{R^2 + a^2}}{R} - \frac{R}{\sqrt{R^2 + a^2}}\right), \\ & \frac{4\pi\varepsilon_0 A_1}{q} R - \frac{4\pi\varepsilon_0 A_2}{q} \sqrt{R^2 + a^2} = q_2 \left(\frac{R}{\sqrt{R^2 + a^2}} - \frac{\sqrt{R^2 + a^2}}{R} \right) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & q_1 = \frac{4\pi\varepsilon_0}{q a^2} \left[A_1 \sqrt{R^2 +a^2} - A_2 R\right] R\sqrt{R^2 + a^2}, \\ & q_2 = \frac{4\pi\varepsilon_0}{q a^2} \left[A_2 \sqrt{R^2 +a^2} - A_1 R\right] R\sqrt{R^2 + a^2} \end{aligned}\]