Задача 87. Найти потенциал $\varphi$ и напряжённость $\vec{E}$ электрического поля на оси равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса $R$; заряд диска $q$. Убедиться в том, что на поверхности диска нормальная составляющая $\vec{E}$ испытывает скачок $\sigma/\varepsilon_0$. Рассмотреть поле на больших расстояниях от диска.

Решение. На оси:

\[\varphi = 2\pi \int\limits_0^R \dfrac{\sigma r\,dr}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{r^2 + z^2}} = \frac{\sigma}{4\varepsilon_0} 2 \sqrt{r^2 + z^2} \Big|_{r=0}^{r=R} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (\sqrt{R^2 + z^2} - |z|)\]

Поле:

\[E_r, E_\alpha = 0; \qquad E_z = - \frac{\partial \varphi}{\partial z} = - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(\dfrac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} - \mathrm{\,sign\,}z\right)\]

В результате нормальная составляющая испытывает скачок:

\[E_z \Big|_{z = +0} - E_z \Big|_{z = -0} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (1 - (-1)) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\]

Поле на больших расстояниях:

\[\varphi(z)_{|z|>>R} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \frac{R^2 + z^2 - z^2}{\sqrt{R^2 + z^2} + |z|} \approx \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 2 |z|} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 |z|}\] \[E_z(z)_{|z|>>R} = \frac{\sigma (R^2 + z^2 - z^2)}{2\varepsilon_0 \sqrt{R^2 + z^2} (\sqrt{R^2 + z^2} \mathrm{\,sign\,}z + z)} \approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 |z|z}\]