Задача 88. Тонкое круглое кольцо радиуса $R$ состоит из двух равномерно и противоположно заряженных полуколец с зарядами $q$ и $-q$. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического поля на оси кольца и вблизи неё. Каков характер поля на больших расстояниях от кольца?

Решение. Начнём с потенциала вблизи оси в точке с цилиндрическими координатами $(r,\beta,z)$ поле создаётся элементом $(R,\alpha,0)$. Расстояние между этими точками:

\[\rho^2 = (r \cos \beta - R \cos \alpha)^2 + (r \sin \beta - R \sin \alpha)^2 + z^2 = r^2 + R^2 - 2 r R \cos (\beta - \alpha) + z^2\] \[\varphi = k \int\limits_0^{\pi} \frac{q}{\pi \sqrt{r^2 + R^2 - 2 r R \cos (\beta - \alpha) + z^2}} d\alpha - k \int\limits_\pi^{2\pi} \frac{q}{\pi \sqrt{r^2 + R^2 - 2 r R \cos (\beta - \alpha) + z^2}} d\alpha =\] \[= k \frac{q}{\pi \sqrt{R^2 + z^2}} \left[ \int\limits_0^{\pi} \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{r^2 - 2 R r \cos (\beta - \alpha)}{R^2 + z^2}}} d\alpha - \int\limits_\pi^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{r^2 - 2 R r \cos (\beta - \alpha)}{R^2 + z^2}}} d\alpha \right] = (1)\] \[\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = (1 + x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{5}{2} \frac{x^3}{3!} + \ldots\] \[(1) \approx k \frac{q}{\pi \sqrt{R^2 + z^2}} \left[ \int\limits_0^{\pi} \left(1 - \frac{1}{2} \dfrac{r^2 - 2 R r \cos (\alpha - \beta)}{R^2 + z^2} \right) d\alpha - \int\limits_\pi^{2\pi} \left(1 - \frac{1}{2} \dfrac{r^2 - 2 R r \cos (\alpha - \beta)}{R^2 + z^2} \right) d\alpha \right] =\] \[= k \frac{q}{\pi \sqrt{R^2 + z^2}} \frac{1}{2} \dfrac{8 r R \sin \beta}{R^2 + z^2} =\] \[= k \frac{q}{\pi (R^2 + z^2)^{3/2}} 4 r R \sin \beta\] \[E_r = - \frac{\partial \varphi}{\partial r} = - k \frac{q}{\pi (R^2 + z^2)^{3/2}} 4 R \sin \beta\] \[E_\beta = - \frac{1}{r} \frac{\partial \varphi}{\partial \beta} = - k \frac{q}{\pi (R^2 + z^2)^{3/2}} 4 R \cos \beta\] \[E_z = - \frac{\partial \varphi}{\partial z}= k \frac{q}{\pi (R^2 + z^2)^{5/2}} 12 z r R \sin \beta\]

Найдём дипольный момент кольца:

\[\vec{p} = \int\limits_0^\pi \frac{q}{\pi} \left\{2 R \cos \alpha, 2 R \sin \alpha, 0\right\} d\alpha = \frac{4 q R}{\pi} \left\{0, 1, 0\right\}\]

Полагаем диполь точечным и для дипольного момента получаем потенциал и поле вдали на оси кольца:

\[\varphi = k \frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3} = 0, \qquad \vec{r} = \{0, 0, z\}\] \[\vec{E} = k \frac{- \vec{p} r^2 + (\vec{p}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5} = - k \frac{\vec{p}}{z^3} = - k \frac{4 q R \vec{e}_y}{\pi z^3} = - k \frac{4 q R (\vec{e}_r \sin \beta + \vec{e}_\beta \cos \beta)}{\pi z^3}\]

Сравнивая выражения при больших расстояниях по оси $z$, получаем, что поле на больших расстояниях имеет дипольный характер.