Электростатика

Однородно заряженный шар

$Q$ - заряд шара, $a$ - радиус. Сферическая симметрия задачи приводит к теореме Гаусса вне шара:

\[E_r 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}\]

внутри шара:

\[E_r 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \frac{r^3}{a^3}\]

Линии поля, очевидно, - прямые выходящие из центра, эквипотенциали - сферы с центром в центре шара. Вне шара имеем закон Кулона, внутри шара поле меняется пропорционально расстоянию от центра:

\[E_r = \begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{1}{r^2}, \qquad r \geq a \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{r}{a^3}, \qquad r < a \end{cases}\]

Потенциал полагаем равным 0 на бесконечности:

\[\varphi = \int\limits_r^\infty E_r dr = \begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{1}{r}, \qquad r \geq a \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left(\dfrac{a^2}{2 a^3} - \dfrac{r^2}{2 a^3}\right) + \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{1}{a}, \qquad r < a \end{cases} =\] \[= \begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{1}{r}, \qquad r \geq a \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{3 a^2 - r^2}{2 a^3}, \qquad r < a \end{cases}\]

Для анализа мы обозначим потенциал на поверхности шара $\varphi_0 = Q/4\pi\varepsilon_0a$, поле на поверхности шара $E_0 = \varphi_0/a$ и обезразмерим расстояние $x = r/a$:

\[\frac{\varphi}{\varphi_0} = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, \qquad x \geq 1 \\ \dfrac{3 - x^2}{2}, \qquad x < 1 \end{cases}\] \[\frac{E_r}{E_0} = \begin{cases} \dfrac{1}{x^2}, \qquad x \geq 1 \\ x, \qquad x < 1 \end{cases}\]

Однородно заряженная сфера

Очевидно, что все предположения относительно шара имеют место и для сферы:

\[\frac{\varphi}{\varphi_0} = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, \qquad x \geq 1 \\ 1, \qquad x < 1 \end{cases}\] \[\frac{E_r}{E_0} = \begin{cases} \dfrac{1}{x^2}, \qquad x \geq 1 \\ 0, \qquad x < 1 \end{cases}\]

Разрыв поля, как и должно быть, приводит к поверхностной плотности:

\[\sigma = \varepsilon_0(E_r|_{a+} - E_r|_{a-}) = \frac{Q}{4\pi a^2}\]