Задача 1.1.1. Найдите период малых колебаний ледяного кубика, плавающего на поверхности воды. Сторона кубика $a$. Оцените этот период для $a = 1$ см.

Решение.

Стандартный путь заключается в предположении, что кубик плавает перпендикулярно поверхности воды и не колеблется вдоль осей параллельных поверхности жидкости. В этом случае колебания происходят под действием силы Архимеда, пропорциональной объёму кубика, погруженного в жидкость.

\[m \frac{d^2 y}{dt^2} = mg - \rho_\text{ж} a^2 y g\]

Здесь $y$ - координата, отсчитываемая от поверхности жидкости до нижней грани кубика. В результате:

\[\frac{d^2 y}{dt^2} = g - \frac{\rho_\text{ж}}{\rho_{\text{т}}} \frac{g}{a} y\] \[\frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{\rho_\text{ж}}{\rho_{\text{т}}} \frac{g}{a} y = g\]

Период колебаний:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{\rho_\text{т}}{\rho_{\text{ж}}} \frac{a}{g}}\]

Для ледяного кубика на поверхности воды:

\[T = 6.28 \sqrt{0.91 \frac{10^{-2}}{10}} \text{ с} \approx 0.19 \text{ с}\]

Вот только данное колебание, как подсказывает опыт неустойчиво (положение равновесия обладает максимальной из возможных потенциальных энергий?). Интерес представляет общий случай колебания кубического тела на поверхности жидкости. Вот только данное тело не шарик, у которого всё всегда хорошо.