Определение:

\[\begin{aligned} & x_1 = r \cos \theta_1 & x_1 \in (-\infty, \infty) \Rightarrow \theta_1 \in (0, \pi)\\ & x_2 = r \sin \theta_1 \cos \theta_2 & x_2 \in (-\infty, \infty) \Rightarrow \theta_2 \in (0, \pi)\\ & \ldots \\ & x_{N - 1} = r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cdot \ldots \cdot \sin \theta_{N - 2} \cos \theta_{N-1} & x_{N - 1} \in (-\infty, \infty) \Rightarrow \theta_{N - 1} \in (0, \pi)\\ & x_{N} = r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cdot \ldots \cdot \sin \theta_{N - 2} \sin \theta_{N-1} & \text{ НО: } x_{N} \in (-\infty, \infty) \Rightarrow \theta_{N - 1} \in (0, 2 \pi) \end{aligned}\] \[r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_N^2} > 0\]

Якобиан:

\[J = \frac{\partial(x_1, x_2, \ldots, x_N)}{\partial(r, \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_{N- 1})} = \begin{vmatrix} \cos \theta_1 & - r \sin \theta_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \sin \theta_1 \cos \theta_2 & r \cos \theta_1 \cos \theta_2 & - r \sin \theta_1 \sin \theta_2 & 0 & \ldots & 0 \\ \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \theta_3 & r \cos \theta_1 \sin \theta_2 \cos \theta_3 & r \sin \theta_1 \cos \theta_2 \cos \theta_3 & - r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \sin \theta_3 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \end{vmatrix}\]

Выносим $r$ за знак определителя, раскладываем по первой строке и выносим всё, что можно вынести за знак определителя:

\[\begin{gathered} J = r^{N - 1} J_N(\theta_1, \ldots, \theta_{N - 1}) = r^{N - 1} [\cos^2 \theta_1 \sin^{N - 2} \theta_1 J_{N - 1}(\theta_2, \ldots, \theta_{N - 1}) + \sin^N \theta_1 J_{N - 1}(\theta_2, \ldots, \theta_{N - 1})] = \\ = r^{N - 1} \sin^{N - 2} \theta_1 J_{N - 1}(\theta_2, \ldots, \theta_{N - 1}) \\ = r^{N - 1} \sin^{N - 2} \theta_1 \sin^{N - 3} \theta_2 \cdot \ldots \cdot \sin \theta_{N - 2} \end{gathered}\]

Площадь гиперсферы:

\[S_N = \int\limits_{\theta} r^{N - 1} \sin^{N - 2} \theta_1 \sin^{N - 3} \theta_2 \cdot \ldots \cdot \sin \theta_{N - 2} d\theta_1 \ldots d\theta_{N - 1}\]

Воспользуемся соотношением:

\[\int\limits_0^\pi \sin^k x dx = \frac{\Gamma\left(\frac{k + 1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k + 2}{2}\right)} \pi^{1/2}\] \[S_N = 2 \pi r^{N - 1} \pi^{(N - 2)/2} \frac{\Gamma(1)}{\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)} = \frac{2 \pi^{N/2}}{\Gamma\left(N/2\right)} r^{N - 1}\]

Объём гипершара:

\[V_N = \int\limits_0^r S_N dr = \frac{2 \pi^{N/2}}{N\Gamma\left(N/2\right)} r^{N} = \frac{\pi^{N/2}}{\Gamma\left((N + 2)/2\right)} r^{N}\]

Элемент площади в случае цилиндрической симметрии для гиперсферы:

\[\begin{gathered} dS_N = r^{N - 1} \sin^{N - 2} \theta \, d\theta \int\limits_{\theta} \sin^{N - 3} \theta_2 \cdot \ldots \cdot \sin \theta_{N - 2} d\theta_2 \ldots d\theta_{N - 1} = \\ = 2 \pi \frac{\pi^{(N - 3)/2}}{\Gamma((N - 1)/2)} r^{N - 1} \sin^{N - 2} \theta \, d\theta = \frac{2 \pi^{(N - 1)/2}}{\Gamma((N - 1)/2)} r^{N - 1} \sin^{N - 2} \theta \, d\theta \end{gathered}\]