Уравнения пьезоэффекта в векторной форме
К сожалению, но моделирование с учётом вариационного принципа не прокатило. FreeFem++ не может найти спектр, а решения при заданной частоте имеют слишком странный вид и больше похожи на шумы. Чтобы понять в чём здесь причина, получим уравнения в векторной форме. Найдём:
\[c_{ijkl} \frac{\partial^2 u_k}{\partial x_l \partial x_j}\]с учётом всех сделанных замечаний относительно коэффициентов. Сгруппируем все слагаемые суммы в таблице:
| $x$ | $y$ | $z$ |
|---|---|---|
| $c_{xxxx} = c_{11}$ | $c_{yyyy} = c_{11}$ | $c_{zzzz} = c_{33}$ |
| $c_{xxyy} = c_{12}$ | $c_{yyxx} = c_{12}$ | $c_{zzxx} = c_{13}$ |
| $c_{xxzz} = c_{13}$ | $c_{yyzz} = c_{13}$ | $c_{zzyy} = c_{13}$ |
| $c_{xyxy} = c_{66}$ | $c_{yxyx} = c_{66}$ | $c_{zxzx} = c_{44}$ |
| $c_{xyyx} = c_{66}$ | $c_{yxxy} = c_{66}$ | $c_{zxxz} = c_{44}$ |
| $c_{xzxz} = c_{44}$ | $c_{yzyz} = c_{44}$ | $c_{zyzy} = c_{44}$ |
| $c_{xzzx} = c_{44}$ | $c_{yzzy} = c_{44}$ | $c_{zyyz} = c_{44}$ |
Откуда следует, что сумма:
\[c_{xjkl} \frac{\partial^2 u_k}{\partial x_l \partial x_j} = c_{11} \frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2} + c_{12} \frac{\partial^2 u_y}{\partial x \partial y} + c_{13} \frac{\partial^2 u_z}{\partial x \partial z} + c_{66} \left(\frac{\partial^2 u_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_y}{\partial x \partial y} \right) + c_{44} \left(\frac{\partial^2 u_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial x \partial z} \right)\] \[c_{yjkl} \frac{\partial^2 u_k}{\partial x_l \partial x_j} = c_{11} \frac{\partial^2 u_y}{\partial y^2} + c_{12} \frac{\partial^2 u_x}{\partial y \partial x} + c_{13} \frac{\partial^2 u_z}{\partial y \partial z} + c_{66} \left(\frac{\partial^2 u_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_x}{\partial y \partial x} \right) + c_{44} \left(\frac{\partial^2 u_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial y \partial z} \right)\] \[c_{zjkl} \frac{\partial^2 u_k}{\partial x_l \partial x_j} = c_{33} \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2} + c_{13} \frac{\partial^2 u_x}{\partial x \partial z} + c_{13} \frac{\partial^2 u_y}{\partial y \partial z} + c_{44} \left(\frac{\partial^2 u_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_x}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_y}{\partial y \partial z}\right)\]Далее вспомним про соотношение:
\[c_{12} = c_{11} - 2 c_{66}\]Умножаем на орты, складываем первое со вторым и получаем:
\[c_{11} \nabla_\perp (\nabla_\perp \cdot \vec{u}_\perp) + (c_{13} + c_{44}) \nabla_\perp \frac{\partial u_z}{\partial z} + c_{44} \frac{\partial^2 \vec{u}_\perp}{\partial z^2} +\] \[+ c_{66} \left[ \vec{e}_x \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u_x}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial x} \right) + \vec{e}_y \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y} \right) \right] =\] \[= c_{11} \nabla_\perp (\nabla_\perp \cdot \vec{u}_\perp) + (c_{13} + c_{44}) \nabla_\perp \frac{\partial u_z}{\partial z} + c_{44} \frac{\partial^2 \vec{u}_\perp}{\partial z^2} +\] \[+ c_{66} \left[ \vec{e}_y\times\vec{e}_z \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u_x}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial x} \right) + \vec{e}_x\times\vec{e}_z \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u_x}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial x} \right) \right] =\] \[= c_{11} \nabla_\perp (\nabla_\perp \cdot \vec{u}_\perp) + (c_{13} + c_{44}) \nabla_\perp \frac{\partial u_z}{\partial z} + c_{44} \frac{\partial^2 \vec{u}_\perp}{\partial z^2} - c_{66} \nabla_\perp \times (\nabla_\perp \times \vec{u}_\perp)\]Аналогично третье соотношение:
\[c_{33} \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2} + (c_{13} + c_{44}) \frac{\partial}{\partial z} (\nabla_\perp\cdot\vec{u}_\perp) + c_{44} \Delta_\perp u_z\]Далее перепишем в векторной форме:
\[e^t_{ij,k} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_k \partial x_j} = e_{k,ij} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_k \partial x_j}\]Начнём опять с таблицы, в которой перечислим ненулевые компоненты тензора $\hat{e}$:
| $x$ | $y$ | $z$ |
|---|---|---|
| $e_{x,xz} = e_{15}$ | $e_{y,yz} = e_{15}$ | $e_{x,zx} = e_{15}$ |
| $e_{z,xx} = e_{31}$ | $e_{z,yy} = e_{31}$ | $e_{y,zy} = e_{15}$ |
| - | - | $e_{z,zz} = e_{33}$ |
Теперь суммируем по осям:
\[(e_{15} + e_{31}) \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial z}\] \[(e_{15} + e_{31}) \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial z}\] \[e_{15} \left( \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} \right) + e_{33} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = e_{15} \Delta_\perp \varphi + e_{33} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}\]Умножаем первое и второе на соответствующие орты и снова складываем:
\[(e_{15} + e_{31}) \nabla_\perp \frac{\partial\varphi}{\partial z}\]Также найдём:
\[e_{k,ij} \frac{\partial^2 u_i }{\partial x_j \partial x_k} = e_{15} \left( \frac{\partial^2 u_x }{\partial z \partial x} + \frac{\partial^2 u_z }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_y }{\partial z \partial y} + \frac{\partial^2 u_z }{\partial y^2} \right) + e_{31} \left( \frac{\partial^2 u_x }{\partial z \partial x} + \frac{\partial^2 u_y }{\partial z \partial y} \right) + e_{33} \frac{\partial^2 u_z }{\partial z^2} =\] \[= (e_{15} + e_{31}) \frac{\partial}{\partial z} (\nabla_\perp\cdot\vec{u}_\perp) + e_{31} \Delta_\perp u_z + e_{33} \frac{\partial^2 u_z }{\partial z^2}\]Собираем теперь всё вместе, чтобы получить уравнение в векторной форме для $x, y$ компонент:
\[\begin{aligned} & \rho \frac{\partial^2 \vec{u}_\perp}{\partial t^2} = c_{11} \nabla_\perp (\nabla_\perp \cdot \vec{u}_\perp) + (c_{13} + c_{44}) \nabla_\perp \frac{\partial u_z}{\partial z} + c_{44} \frac{\partial^2 \vec{u}_\perp}{\partial z^2} - c_{66} \nabla_\perp \times (\nabla_\perp \times \vec{u}_\perp) + (e_{15} + e_{31}) \nabla_\perp \frac{\partial\varphi}{\partial z} \\ & \rho \frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2} = c_{33} \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2} + (c_{13} + c_{44}) \frac{\partial}{\partial z} (\nabla_\perp\cdot\vec{u}_\perp) + c_{44} \Delta_\perp u_z + e_{15} \Delta_\perp \varphi + e_{33} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} \end{aligned}\]Недостающее уравнение для потенциалов аналогично принимает вид:
\[\varepsilon_{11} \Delta_\perp \varphi + \varepsilon_{33} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = (e_{15} + e_{31}) \frac{\partial}{\partial z} (\nabla_\perp\cdot\vec{u}_\perp) + e_{31} \Delta_\perp u_z + e_{33} \frac{\partial^2 u_z }{\partial z^2}\]