Уравнения пьезоэффекта в тензорной форме
Начнём с общих уравнений:
{ˆu=sEˆσ+dt→E,→D=dˆσ+εσ→E,{ˆσ=cEˆu−et→E,→D=eˆu+εu→E,{ˆu=sDˆσ+gt→D,→E=−gˆσ+βσ→D,{ˆσ=cDˆu−ht→D,→E=−hˆu+βu→D.Здесь ˆσ - механическое напряжение, ˆu - тензор деформаций - симметричные тензоры 2 ранга, sE, cE, sD, cD - тензоры 4 ранга, e, h, g d - тензоры 3 ранга. Симметрия позвоялет представить данные уравнения через 6-векторы.
ˆσ=(σ11σ22σ33σ23σ13σ12),ˆu=(u11u22u33u23u13u12).Вводят следующие индексы:
11 | 22 | 33 | 23 | 32 | 13 | 31 | 12 | 21 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 | 6 |
В такой индексации при направлении оси поляризации пьезокристалла 3, ненулевыми будут только компоненты матриц:
(11121321=1222=1123=1331=1332=13334455=4466)sE,DcE,D(13=3123=313342=1551=15)dtgtetht(1524=153132=3133)(1122=1133)εu,σβu,σТензор деформации в линейном приближении имеет вид:
uij=12(∂ui∂xj+∂uj∂xi)К сожалению, но эти уравнения статические. То есть они получены в предположении термодинамического равновесия. Динамические уравнения записывают через вектор перемещений ui:
ρ∂2ui∂t2=∂σij∂xjДалее отметим, что скорость распространения ЭМ колебаний существенно выше скорости звука. Поэтому можно считать, что электромагнитное поле (потенциал) меняется мгновенно и подчиняется уравнению:
div→D=0 Dk=ek,ijuij−εkj∂φ∂xjВ результате получаем систему уравнений:
ρ∂2ui∂t2=cEijkl2(∂2uk∂xl∂xj+∂2ul∂xk∂xj)+etij,k∂2φ∂xk∂xj ∂∂xj(εuji∂φ∂xi)=ek,ij2(∂2ui∂xj∂xk+∂2uj∂xi∂xk)