Начнём с общих уравнений:

{ˆu=sEˆσ+dtE,D=dˆσ+εσE,{ˆσ=cEˆuetE,D=eˆu+εuE,{ˆu=sDˆσ+gtD,E=gˆσ+βσD,{ˆσ=cDˆuhtD,E=hˆu+βuD.

Здесь ˆσ - механическое напряжение, ˆu - тензор деформаций - симметричные тензоры 2 ранга, sE, cE, sD, cD - тензоры 4 ранга, e, h, g d - тензоры 3 ранга. Симметрия позвоялет представить данные уравнения через 6-векторы.

ˆσ=(σ11σ22σ33σ23σ13σ12),ˆu=(u11u22u33u23u13u12).

Вводят следующие индексы:

11 22 33 23 32 13 31 12 21
1 2 3 4 4 5 5 6 6

В такой индексации при направлении оси поляризации пьезокристалла 3, ненулевыми будут только компоненты матриц:

(11121321=1222=1123=1331=1332=13334455=4466)sE,DcE,D(13=3123=313342=1551=15)dtgtetht(1524=153132=3133)(1122=1133)εu,σβu,σ

Тензор деформации в линейном приближении имеет вид:

uij=12(uixj+ujxi)

К сожалению, но эти уравнения статические. То есть они получены в предположении термодинамического равновесия. Динамические уравнения записывают через вектор перемещений ui:

ρ2uit2=σijxj

Далее отметим, что скорость распространения ЭМ колебаний существенно выше скорости звука. Поэтому можно считать, что электромагнитное поле (потенциал) меняется мгновенно и подчиняется уравнению:

divD=0 Dk=ek,ijuijεkjφxj

В результате получаем систему уравнений:

ρ2uit2=cEijkl2(2ukxlxj+2ulxkxj)+etij,k2φxkxj xj(εujiφxi)=ek,ij2(2uixjxk+2ujxixk)