Уравнения пьезоэффекта в тензорной форме

Начнём с общих уравнений:

$$\begin{aligned} & \begin{cases} \hat{u} = s^E \hat{\sigma} + d^t \vec{E}, \\ \vec{D} = d \hat{\sigma} + \varepsilon^\sigma \vec{E}, \end{cases} && \begin{cases} \hat{\sigma} = c^E \hat{u} - e^t \vec{E}, \\ \vec{D} = e \hat{u} + \varepsilon^u \vec{E}, \end{cases} \\ & \begin{cases} \hat{u} = s^D \hat{\sigma} + g^t \vec{D}, \\ \vec{E} = - g \hat{\sigma} + \beta^\sigma \vec{D}, \end{cases} && \begin{cases} \hat{\sigma} = c^D \hat{u} - h^t \vec{D}, \\ \vec{E} = - h \hat{u} + \beta^u \vec{D}. \end{cases} \end{aligned}$$

Здесь $\hat{\sigma}$ - механическое напряжение, $\hat{u}$ - тензор деформаций - симметричные тензоры 2 ранга, $s^E$, $c^E$, $s^D$, $c^D$ - тензоры 4 ранга, $e$, $h$, $g$ $d$ - тензоры 3 ранга. Симметрия позвоялет представить данные уравнения через 6-векторы.

$$\hat{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{pmatrix}, \qquad \hat{u} = \begin{pmatrix} u_{11} \\ u_{22} \\ u_{33} \\ u_{23} \\ u_{13} \\ u_{12} \end{pmatrix}.$$

Вводят следующие индексы:

11	22	33	23	32	13	31	12	21
1	2	3	4	4	5	5	6	6

В такой индексации при направлении оси поляризации пьезокристалла 3, ненулевыми будут только компоненты матриц:

$$\begin{aligned} & \begin{pmatrix} 11 & 12 & 13 & & & \\ 21 = 12 & 22 = 11 & 23 = 13 & & & \\ 31 = 13 & 32 = 13 & 33 & & & \\ & & & 44 & & \\ & & & & 55 = 44 & \\ & & & & & 66 \end{pmatrix}^{\begin{aligned}s^{E,D} \\ c^{E,D}\end{aligned}} && \begin{pmatrix} & & 13 = 31 \\ & & 23 = 31 \\ & & 33 \\ & 42 = 15 & \\ 51 = 15 & & \\ & & \end{pmatrix}^{\begin{aligned}d^t \\ g^t \\ e^t \\ h^t \end{aligned}} \\ & \begin{pmatrix} & & & & 15\quad & \quad \\ & & & 24 = 15 & &\\ \quad 31\quad & 32 = 31 & \quad 33 \quad & & & \\ \end{pmatrix} && \begin{pmatrix} \quad\,\, 11 \quad & & \\ & 22 = 11& \\ & & \quad\, 33\quad \\ \end{pmatrix}^{\begin{aligned}\varepsilon^{u,\sigma} \\ \beta^{u, \sigma} \end{aligned}} \end{aligned}$$

Тензор деформации в линейном приближении имеет вид:

$$u_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$$

К сожалению, но эти уравнения статические. То есть они получены в предположении термодинамического равновесия. Динамические уравнения записывают через вектор перемещений $u_i$:

$$\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}$$

Далее отметим, что скорость распространения ЭМ колебаний существенно выше скорости звука. Поэтому можно считать, что электромагнитное поле (потенциал) меняется мгновенно и подчиняется уравнению:

$$\mathrm{div\,} \vec{D} = 0$$ $$D_k = e_{k,ij} u_{ij} - \varepsilon_{kj} \frac{\partial \varphi}{\partial x_j}$$

В результате получаем систему уравнений:

$$\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \frac{c^E_{ijkl}}{2} \left(\frac{\partial^2 u_k}{\partial x_l \partial x_j} + \frac{\partial^2 u_l}{\partial x_k \partial x_j}\right) + e^t_{ij,k} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_k \partial x_j}$$ $$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \varepsilon^{u}_{ji} \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \right)= \frac{e_{k,ij}}{2} \left( \frac{\partial^2 u_i }{\partial x_j \partial x_k} + \frac{\partial^2 u_j }{\partial x_i \partial x_k} \right)$$