Умножим на $\delta u_i$ первое уравнение и просуммируем по $i$, умножим на $\delta \varphi$ второе уравнение, а затем проинтегрируем по $dVdt$:

\[\rho \delta u_i \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \frac{c^E_{ijkl}}{2} \delta u_i \left(\frac{\partial^2 u_k}{\partial x_l \partial x_j} + \frac{\partial^2 u_l}{\partial x_k \partial x_j}\right) + e^t_{ij,k} \delta u_i \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_k \partial x_j}\] \[\delta \varphi \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \varepsilon^{u}_{ij} \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \right)= \delta \varphi \frac{e_{k,ij}}{2} \left( \frac{\partial^2 u_i }{\partial x_j \partial x_k} + \frac{\partial^2 u_j }{\partial x_i \partial x_k} \right)\]

После интегрирования по частям и пренебрегая всеми нелинейными слагаемыми ($\partial \rho/\partial t$ и т. д.):

\[- \int\limits_{t_1}^{t_2} \int\limits_V \rho \frac{\partial \delta u_i}{\partial t} \frac{\partial u_i}{\partial t} dV dt = - \int\limits_{t_1}^{t_2} \int\limits_{V} \frac{c^E_{ijkl}}{2} \frac{\partial \delta u_i}{\partial x_j} \left(\frac{\partial u_k}{\partial x_l} + \frac{\partial u_l}{\partial x_k}\right) dV dt - \int\limits_{t_1}^{t_2} \int\limits_{V} e^t_{ij,k} \frac{\partial \delta u_i}{\partial x_j} \frac{\partial \varphi}{\partial x_k} dV dt\]

В силу симметрии упругих коэффициентов получаем:

\[\int\limits_{t_1}^{t_2} \int\limits_V \left[ \rho \frac{\partial \delta u_i}{\partial t} \frac{\partial u_i}{\partial t} - c^E_{ijkl} \frac{\partial \delta u_i}{\partial x_j} \frac{\partial u_k}{\partial x_l} - e^t_{ij,k} \frac{\partial \delta u_i}{\partial x_j} \frac{\partial \varphi}{\partial x_k} \right] dV dt = 0\] \[\int\limits_{t_1}^{t_2} \int\limits_V \varepsilon^{u}_{ij} \frac{\partial \delta \varphi}{\partial x_j} \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} dV dt - \int\limits_{t_1}^{t_2} \int\limits_V e_{k,ij} \frac{\partial \delta \varphi}{\partial x_k } \frac{\partial u_i }{\partial x_j} dV dt = 0\]

Отсюда следует общий вариационный принцип для пьезоэлектриков:

\[\delta \int\limits_{t_1}^{t_2} \int\limits_V \left[ \frac{\rho}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial t} \right)^2 - \frac{c^E_{ijkl}}{2} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial u_k}{\partial x_l} - e^t_{ij,k} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial \varphi}{\partial x_k} + \frac{\varepsilon^{u}_{ij}}{2} \frac{\partial \varphi}{\partial x_j} \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \right] dV dt = 0\]

Отметим, что последние вариационные принципы получены так, что остаются справедливы и для неоднородной среды. Это многое упрощает в задаче об упругих колебаниях твёрдых тел. Ведь граничные условия для тензора напряжений и вектора $\vec{D}$ теперь должны вытекать из непрерывности вектора перемещений и потенциала на границе раздела сред и данного вариационного принципа.

Симметрии пьезокристалла с поляризацией вдоль оси $z$ позволяют свести слагаемые с $c_{ijkl}$ для первого вариационного принципа к слагаемым содержащим следующие коэффициенты (далее $u_i = {u_x, u_y, u_z}, \delta u_i = {v_x, v_y, v_z}$):

$c_{xxxx} = c_{yyyy} = c_{11}$
$c_{xxyy} = c_{yyxx} = c_{12}$
$c_{xxzz} = c_{zzxx} = c_{zzyy} = c_{yyzz} = c_{13}$
$c_{zzzz} = c_{33}$
$c_{yzyz} = c_{yzzy} = c_{zyyz} = c_{zyzy} = c_{44}$
$c_{xzxz} = c_{xzzx} = c_{zxxz} = c_{zxzx} = c_{55} = c_{44}$
$c_{xyxy} = c_{xyyx} = c_{yxxy} = c_{yxyx} = c_{66} = 0.5(c_{11} - c_{12})$

В результате слагаемые вида:

\[c_{ijkl} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \frac{\partial u_k}{\partial x_l} = [(*)]\]

Перейдут в:

\[c_{11} \left[ \frac{\partial v_x}{\partial x} \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} \frac{\partial u_y}{\partial y} \right] = c_{11} \left[(1)\right]\] \[c_{12} \left[ \frac{\partial v_x}{\partial x} \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial y} \frac{\partial u_x}{\partial x} \right] = c_{12} \left[(2)\right]\] \[c_{13} \left[ \frac{\partial v_x}{\partial x} \frac{\partial u_z}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} \frac{\partial u_z}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \frac{\partial u_y}{\partial y} \right] = c_{13} \left[(3)\right]\] \[c_{33} \left[ \frac{\partial u_z}{\partial z} \frac{\partial v_z}{\partial z} \right] = c_{33} \left[(4)\right]\] \[c_{44} \left[ \frac{\partial v_y}{\partial z} \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial v_y}{\partial z} \frac{\partial u_z}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial y} \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y} \frac{\partial u_z}{\partial y} + \frac{\partial v_x}{\partial z} \frac{\partial u_x}{\partial z} + \frac{\partial v_x}{\partial z} \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial v_z}{\partial x} \frac{\partial u_x}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial x} \frac{\partial u_z}{\partial x} \right] = c_{44} \left[(5)\right]\] \[c_{66} \left[ \frac{\partial v_x}{\partial y} \frac{\partial u_x}{\partial y} + \frac{\partial v_x}{\partial y} \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial x} \frac{\partial u_x}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial x} \frac{\partial u_y}{\partial x} \right] = c_{66} \left[(6)\right]\]

Откуда:

\[(*) = c_{11} [(1) + (2) - (2)] + c_{12} (2) + c_{13} (3) + c_{33} (4) + c_{44} (5) + c_{66} (6) =\] \[= c_{11} [(1) + (2)] + [ c_{12} - c_{11} ](2) + c_{13} (3) + c_{33} (4) + c_{44} (5) + c_{66} (6) =\] \[= c_{11} [(1) + (2)] + c_{13} (3) + c_{33} (4) + c_{44} (5) + c_{66} [(6) - 2(2)] =\] \[= c_{11} [(1) + (2)] + c_{13} (3) + c_{33} (4) + c_{44} (5) + c_{66} [(6) - \{(1) + (2)\} + \{(1) - (2)\}]\]

Учитывая:

\[\nabla_\perp \cdot \vec{u}_\perp = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y}\] \[\nabla_\perp \times (\vec{e}_z \times \vec{u}_\perp) = \vec{e}_z (\nabla_\perp \cdot \vec{u}_\perp) - (\vec{e}_z \cdot \nabla_\perp) \vec{u}_\perp = \vec{e}_z (\nabla_\perp \cdot \vec{u}_\perp)\] \[\nabla_\perp \cdot (\vec{e}_z \times \vec{u}_\perp) = \nabla_\perp \cdot \{- u_y, u_x\} = - \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}\]

И:

\[(1) + (2) = (\nabla_\perp \cdot \vec{u}_\perp)(\nabla_\perp \cdot \vec{v}_\perp)\] \[(1) - (2) = \left( \frac{\partial u_x}{\partial x} - \frac{\partial u_y}{\partial y} \right) \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} - \frac{\partial v_y}{\partial y} \right)\] \[(3) = \frac{\partial u_z}{\partial z} \nabla_\perp \cdot \vec{v}_\perp + \frac{\partial v_z}{\partial z} \nabla_\perp \cdot \vec{u}_\perp\] \[(5) = \frac{\partial \vec{v}_\perp}{\partial z} \cdot \frac{\partial \vec{u}_\perp}{\partial z} + \frac{\partial \vec{v}_\perp}{\partial z} \cdot \nabla_\perp u_z + \frac{\partial \vec{u}_\perp}{\partial z} \cdot \nabla_\perp v_z + \nabla_\perp v_z \cdot \nabla_\perp u_z =\] \[= \left(\frac{\partial \vec{v}_\perp}{\partial z} + \nabla_\perp v_z\right) \cdot \left(\frac{\partial \vec{u}_\perp}{\partial z} + \nabla_\perp u_z\right)\] \[(6) = \left( \frac{\partial u_x}{\partial y} + \frac{\partial u_y}{\partial x} \right) \left( \frac{\partial v_x}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial x} \right)\]