Задача 40. Доказать тождества:

а) $\vec{C}\cdot\mathrm{\,grad \,} (\vec{A}\cdot\vec{B}) = \vec{A}\cdot(\vec{C}\cdot\nabla)\vec{B} + \vec{B}\cdot(\vec{C}\cdot\nabla)\vec{A}$

б) $(\vec{C}\cdot\nabla)(\vec{A}\times\vec{B}) = \vec{A}\times(\vec{C}\cdot\nabla)\vec{B} - \vec{B}\times(\vec{C}\cdot\nabla)\vec{A}$

в) $(\nabla\cdot\vec{A})\vec{B} = (\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B} + \vec{B} \mathrm{\,div \,} \vec{A}$

г) $(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\mathrm{\,rot \,}\vec{C} = \vec{B}\cdot (\vec{A}\cdot\nabla) \vec{C} - \vec{A}\cdot (\vec{B}\cdot\nabla) \vec{C}$

д) $(\vec{A}\times\nabla)\times\vec{B} = (\vec{A}\cdot\nabla) \vec{B} + \vec{A} \times \mathrm{\,rot \,} \vec{B} - \vec{A} \mathrm{\,div \,} \vec{B}$

е) $(\nabla\times\vec{A})\times\vec{B} = \vec{A} \mathrm{\,div \,} \vec{B}- (\vec{A}\cdot\nabla) \vec{B} - \vec{A} \times \mathrm{\,rot \,} \vec{B} - \vec{B} \times \mathrm{\,rot \,} \vec{A}$

Решение.

Всё как в задаче 39

а)

\[\vec{C}\cdot\mathrm{\,grad \,} (\vec{A}\cdot\vec{B}) = (\vec{C}\cdot\nabla_B) (\vec{A}\cdot\vec{B}) + (\vec{C}\cdot\nabla_A) (\vec{A}\cdot\vec{B}) =\] \[= \vec{A}\cdot(\vec{C}\cdot\nabla)\vec{B} + \vec{B}\cdot(\vec{C}\cdot\nabla)\vec{A}\]

б)

\[(\vec{C}\cdot\nabla)(\vec{A}\times\vec{B}) = (\vec{C}\cdot\nabla_B)(\vec{A}\times\vec{B}) + (\vec{C}\cdot\nabla_A)(\vec{A}\times\vec{B}) =\] \[=\vec{A}\times(\vec{C}\cdot\nabla)\vec{B} - \vec{B}\times(\vec{C}\cdot\nabla)\vec{A}\]

в)

\[(\nabla\cdot\vec{A})\vec{B} = (\nabla_A\cdot\vec{A})\vec{B} + (\nabla_B\cdot\vec{A})\vec{B} = \vec{B} (\nabla_A\cdot\vec{A}) + (\vec{A}\cdot\nabla_B)\vec{B} =\] \[=(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B} + \vec{B} \mathrm{\,div \,} \vec{A}\]

г)

\[(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\mathrm{\,rot \,}\vec{C} = (\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\nabla_C\times\vec{C}) = - \nabla_C \cdot ((\vec{A}\times\vec{B}) \times \vec{C}) =\] \[= \nabla_C \cdot (\vec{C}\times(\vec{A}\times\vec{B})) = \nabla_C \cdot (\vec{A}(\vec{C}\cdot\vec{B}) - \vec{B}(\vec{C}\cdot\vec{A})) =\] \[= (\vec{A} \cdot \nabla_C)(\vec{C}\cdot\vec{B}) - (\vec{B}\cdot\nabla_C)(\vec{C}\cdot\vec{A}) =\] \[= \vec{B}\cdot (\vec{A}\cdot\nabla) \vec{C} - \vec{A}\cdot (\vec{B}\cdot\nabla) \vec{C}\]

д)

\[(\vec{A}\times\nabla)\times\vec{B} = (\vec{A}\times\nabla_B)\times\vec{B} = \nabla_B (\vec{A}\cdot\vec{B}) - \vec{A} (\nabla_B \cdot \vec{B}) = (1)\]

Далее учтём соотношение из предыдущей задачи 39:

\[\nabla_B (\vec{A}\cdot\vec{B}) = (\vec{A}\cdot\nabla_B) \vec{B} + \vec{A} \times (\nabla_B \times \vec{B})\]

получаем:

\[(1)= (\vec{A}\cdot\nabla) \vec{B} + \vec{A} \times \mathrm{\,rot \,} \vec{B} - \vec{A} \mathrm{\,div \,} \vec{B}\]

е)

\[(\nabla\times\vec{A})\times\vec{B} = (\nabla_A\times\vec{A})\times\vec{B} + (\nabla_B\times\vec{A})\times\vec{B} = - \vec{B}\times(\nabla_A\times\vec{A}) - (\vec{A}\times\nabla_B)\times\vec{B} = (2)\]

Используем выражение из предыдущего пункта и получаем:

\[(2) = \vec{A} \mathrm{\,div \,} \vec{B}- (\vec{A}\cdot\nabla) \vec{B} - \vec{A} \times \mathrm{\,rot \,} \vec{B} - \vec{B} \times \mathrm{\,rot \,} \vec{A}\]